文档介绍：泛函分析考试试卷ﻫ
一、选择题。
1、下列说法不正确的是( )
Ａ、 ｎ维欧式空间Ｒn 是可分空间 B、 全体有理数集为Ｒｎ 的可数稠密子集
Ｃ、 l∞ 是不可分空间 D、若X为不可数集则离散度量空间X是可分的ﻫ 答案：D
2、设T是度量空间(X,d)到度量空间(Y，d~）的映射，那么T在x0ЄＸ连续的充要条件是( )
当xn→x０（ｎ→∞）时,必有Ｔxn→Tｘ0(n→∞）
Ｂ、当ｘn→x０(n→∞)时,必有Tx０→Ｔxn(n→∞)
C、当x0→xn（n→∞)时，必有Txn→Tx0(n→∞)ﻫD、当xn→x0（ｎ→0）时,必有Tｘn→Ｔx0(n→0)
答案:Ｄ
3、在度量空间中有（ ）
柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列
柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列
柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列
柯西点列不一定收敛,但是每一个收敛点列不一定是柯西点列ﻫ 答案：Ｃ
4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是( )ﻫA、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间
Ｂ、Lp[a,b]（p≥1)是巴拿赫空间
C、空间ｌp是巴拿赫空间
D、赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间ﻫ 答案:D
5、 下列对共轭算子性质描述错误的是（ ）
A、（A+B)*=Ａ*＋B*; B、（A＊)*=Ａ**
C、当Ｘ=Y时，(AＢ）＊＝B*A* D、(ａＡ）*＝Ａ*ﻫ 答案:B
填空题
１、度量空间X到Ｙ中的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中的任意开集M为ﻫ 。
答案：原像T-1M是X中的开集
２、设T是赋范线性空间Ｘ到赋范线性空间Y中的线性算子，则Ｔ为有界算子的充要条件是Ｔ是X上的 。
答案：连续算子。
３、若T为复内积空间X上有界线性算子，那么Ｔ=0的充要条件是对一切xЄX有 。ﻫ 答案:（Ｔx,x）＝0ﻫ 4、有界线性算子T的共轭算子T×也是有界线性算子，并且 。
答案:=ﻫ 5、设｛ｆn}是巴拿赫空间X上的一列泛函，如果{fｎ｝在X的每点ｘ处有界，那么｛fn} 。
答案:一致有界
判断题ﻫ 1、自伴算子一定为正常算子,正常算子不一定是自伴算子。（ )√
2、设Ｔ1和T2是希尔伯特空间X上两个自伴算子,则T１*Ｔ2自伴的充要条件是T１*T２=T2＊Ｔ１。( ）√ﻫ 3、强收敛必定弱收敛,弱收敛必定强收敛。( ）×ﻫ 4、设X和Y都是巴拿赫空间，如果Ｔ是从X到Ｙ上的一对一有界线性算子，则Ｔ的逆算子T-1不是有界线性算子。（ )×ﻫ 5、无界算子不是闭算子。（ ）×
四、证明题
１. 设 X 是赋范线性空间, f 是Ｘ上连续线性泛函, 证明 f 的零空间Ｎ ( f ） 是 X 中闭子空间．
证明:对任何 x, y Î N ( ｆ ), 及任何 a, b f (a x + b y) = a f （x) + b f (y) = 0
所以 a x + b y Î