文档介绍：泛函分析考试试卷一、选择题。 1 、下列说法不正确的是( ) A、n 维欧式空间 R n 是可分空间 B、全体有理数集为 R n 的可数稠密子集 C、l ∞是不可分空间 D 、若 X 为不可数集则离散度量空间 X 是可分的答案: D2、设T 是度量空间(X,d ) 到度量空间(Y,d ~) 的映射, 那么 T在x 0?X 连续的充要条件是() A、当x n→x 0(n→∞)时,必有 Tx n→ Tx 0(n→∞) B 、当 x n→x 0(n→∞)时,必有 Tx 0→ Tx n(n→∞) C 、当 x 0→x n(n→∞)时,必有 Tx n→ Tx 0(n→∞) D 、当 x n→x 0(n→0 )时,必有 Tx n→ Tx 0(n→0) 答案: D3 、在度量空间中有( ) A、柯西点列一定收敛,但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 B、柯西点列一定收敛,而且每一个收敛点列是柯西点列 C、柯西点列不一定收敛,但是每一个收敛点列都是柯西点列 D、柯西点列不一定收敛,但是每一个收敛点列不一定是柯西点列答案: C4 、关于巴拿赫空间叙述不正确的是( ) A 、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间 B、L p [a, b](p≥1 )是巴拿赫空间 C 、空间 l p 是巴拿赫空间 D 、赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间答案: D5、下列对共轭算子性质描述错误的是( ) A、( A+B)*=A*+B*; B、(A*)*=A** C 、当 X=Y 时,(AB)*=B*A* D、( aA)*= a A* 答案: B 二、填空题 1 、度量空间 X到Y 中的映射 T是X 上的连续映射的充要条件为 Y 中的任意开集 M为。答案:原像 T -1M是X 中的开集 2、设T 是赋范线性空间 X 到赋范线性空间 Y 中的线性算子,则T 为有界算子的充要条件是 T是X 上的。答案:连续算子。 3 、若 T 为复内积空间 X 上有界线性算子,那么 T=0 的充要条件是对一切 x?X有。答案:( Tx ,x) =0 4 、有界线性算子 T 的共轭算子 T × 也是有界线性算子,并且?TT 。答案: =5 、设{f n} 是巴拿赫空间 X 上的一列泛函,如果{f n}在X 的每点 x 处有界,那么{f n}。答案:一致有界三、判断题 1 、自伴算子一定为正常算子,正常算子不一定是自伴算子。()√ 2、设T 1和T 2 是希尔伯特空间 X 上两个自伴算子,则T 1 *T 2 自伴的充要条件是 T 1 *T 2 =T 2 *T 1。()√3、强收敛必定弱收敛,弱收敛必定强收敛。()× 4、设X和Y 都是巴拿赫空间, 如果 T 是从 X到Y 上的一对一有界线性算子,则T 的逆算子 T -1 不是有界线性算子。()× 5 、无界算子不是闭算子。()× 四、证明题 1. 设X 是赋范线性空间,f是X 上连续线性泛函, 证明 f 的零空间N(f)是X 中闭子空间. 证明: 对任何 x,y?N(f ), 及任何?,?f(?x?? y)??f (x) ??f (y) ?0 所以?x??y?N(f ). 所以 N (f) 是线性空间. 又设 x n?N(f ),且x n?x? X,由f 连续 f (x) ? lim nf (x n)?0所以x?N(f ). 所以 N(f) 是闭集. 是赋范空