文档介绍：椭圆的定义、性质及标准方程
1. 椭圆的定义:
⑴第一定义:平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义:动点到定点的距离和它到定直线的距离之比等于常数,则动点的轨迹叫做椭圆。
定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数叫做椭圆的离心率。
说明:①若常数等于,则动点轨迹是线段。
②若常数小于,则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质:
标准方程
中心在原点,焦点在轴上
中心在原点,焦点在轴上
图形
范围
顶点
对称轴
轴、轴;
长轴长,短轴长;
焦点在长轴上
轴、轴;
长轴长,短轴长;
焦点在长轴上
焦点
焦距
离心率
准线
参数方程与普通方程
的参数方程为
的参数方程为
3. 焦半径公式:
椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式:椭圆焦点在轴上时,设分别是椭圆的左、右焦点,是椭圆上任一点,则,。
推导过程:由第二定义得(为点到左准线的距离),
则;同理得。
简记为:左“+”右“-”。
由此可见,过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
;若焦点在轴上,则为。有时为了运算方便,设。
双曲线的定义、方程和性质
知识要点:
定义
(1)第一定义:平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线。
说明:
①||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|)是双曲线;
若2a=|F1F2|,轨迹是以F1、F2为端点的射线;2a>|F1F2|时无轨迹。
②设M是双曲线上任意一点,若M点在双曲线右边一支上,则|MF1|>|MF2|,|MF1|-|MF2|=2a;若M在双曲线的左支上,则|MF1|<|MF2|,|MF1|-|MF2|=-2a,故|MF1|-|MF2|=±2a,这是与椭圆不同的地方。
(2)第二定义:平面内动点到定点F的距离与到定直线L的距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹叫双曲线,定点叫焦点,定直线L叫相应的准线。
双曲线的方程及几何性质
标准方程
图形
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
顶点
A1(a,0),A2(-a,0)
A1(0,a),A2(0,-a)
对称轴
实轴2a,虚轴2b,实轴在x轴上,c2=a2+b2
实轴2a,虚轴2b,实轴在y轴上,c2=a2+b2
离心率
准线方程
准线间距离为
准线间距离为
渐近线方程
几个概念
等轴双曲线:实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x,离心率为。
共轴双曲线:以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴双曲线,例:的共轴双曲线是。
双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线,不一定是共轴双曲线;②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。
抛物线标准方程与几何性质
一、抛物线定义的理解
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点为抛物线的焦点,定直线为抛物线的准线。
注:①定义可归结为“一动三定”:一个动点设为;一定点(即焦点);一定直线
(即准线);一定值1(即