文档介绍：圆锥曲线与方程
考纲导读
、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程.
、标准方程、简单的几何性质.
、标准方程、简单的几何性质.
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知识网络
圆锥曲线
椭圆定义
标准方程
几何性质
双曲线定义
标准方程
几何性质
抛物线定义
标准方程
几何性质
第二定义
第二定义
统一定义
直线与圆锥曲线的位置关系
椭圆
双曲线
抛物线
a、b、c三者
间的关系
高考导航
圆锥曲线是高中数学的一个重要内容,它的基本特点是数形兼备,兼容并包,可与代数、三角、几何知识相沟通,历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查,基本上是两个客观题,一个主观题,分值21分~24分,占15%左右,并且主要体现出以下几个特点:
,主要考查以下内容:
①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解.
②圆锥曲线的几何性质的应用.
2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高,此类问题的解决需掌握四种基本方法:直译法、定义法、相关点法、参数法.
,是高考的重热点问题,这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等,分析这类问题时,往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理,多以解答题的形式出现.
,是高考命题的一大热点,这类问题综合性较大,运算技巧要求较高;尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合,特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题,是常考常新的试题,将是今后高考命题的一个趋势.
第1课时椭圆
基础过关
(1) 平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫做椭圆的, 之间的距离叫做焦距.
注:①当2a=|F1F2|时,P点的轨迹是.②当2a<|F1F2|时,P点的轨迹不存在.
(2) 椭圆的第二定义:到的距离与到的距离之比是常数,,定直线l是,常数e是.
(1) 焦点在轴上,中心在原点的椭圆标准方程是:,( > >0,且
(2) 焦点在轴上,中心在原点的椭圆标准方程是,其中a,b满足: .
(对,a > b >0进行讨论)
(1) 范围: ≤ x ≤, ≤ y ≤
(2) 对称性:对称轴方程为;对称中心为.
(3) 顶点坐标: ,焦点坐标: ,长半轴长: ,短半轴长: ;准线方程: .
(4) 离心率: ( 与的比), ,越接近1,椭圆越; 越接近0,椭圆越接近于.
(5) 焦半径公式:设分别为椭圆的左、右焦点,是椭圆上一点,则,= .
(6) 椭圆的参数方程为.
:
(1) 定义:r1+r2=2a
(2) 余弦定理:+-2r1r2cos=(2c)2
(3) 面积:=r1r2 sin=·2c| y0 |(其中P()为椭圆上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=)
典型例题
例1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10;
(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点;
(3)长轴长是短轴长的3倍,并且椭圆经过点A(-3,)
变式训练1:根据下列条件求椭圆的标准方程
(1) 和椭圆共准线,且离心率为.
(2) 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点
.
例2. 点P(3, 4)是椭圆=1 (a>b>0) 上的一点,F1、F2是它的两焦点,若PF1⊥PF2求:
(1) 椭圆的方程;(2) △PF1F2的面积.
解:(1)法一:令F1(-C,0),F2(C,0)
∵ PF1⊥PF2,∴=-1即,解得c=5
∴椭圆的方程为
∵点P(3,4)在椭圆上,∴
解得a2=45或a2=5 又a>c,∴ a2=5舍去.
故所求椭圆的方程为.
法二:利用△PF1F2是直角三角形,求得c=5(以下同方法一)
(2)由焦半径公式:
| PF1 |=a+ex=3+×3=4
| PF2 |=a-ex=3-×3=2
∴=| PF1 |·| PF2 |=×4×2=20
变式训练2:已知P(x0,y0)是椭圆(a>b>0)上的任意一点,F1、F2是焦点,求证:以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.
证明设以PF2为直径的圆