文档介绍：定积分在经济学中的应用
摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。
关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余
引言
积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。
1 利用定积分求原经济函数问题
在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。
设经济应用函数u( x ) 的边际函数为 ,则有

例1 􀀁 生产某产品的边际成本函数为, 固定成本C (0) =10000, 求出生产x个产品的总成本函数。
解􀀁 总成本函数

=
=
=
2 􀀁 利用定积分由变化率求总量问题
如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。
例2 已知某产品总产量的变化率为 ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。
解所求的总产量为
(件)
3 􀀁利用定积分求经济函数的最大值和最小值
例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大? 并求出最大利润。
解􀀁 总成本函数为
=
总收益函数为R( x ) = 500x
总利润函数为L ( x ) = R ( x ) - C( x ) =
= 400- 2x
令= 0, 得x= 200
因为 ( 200) < 0
所以, 生产量为200 单位时, 利润最大。最大利润为L( 200)=400 200--1000=39000( 元) 。
例4 􀀁 某企业生产x 吨产品时的边际成本为( 元/ 吨) 。且固定成本为900元, 试求产量为多少时平均成本最低?
解：􀀁 首先求出成本函数

, 得平均成本函数为

求一阶导数

令, 解得( = - 300 舍去) 。
因此, ( x) 仅有一个驻点= 300, 再由实际问题本身可知( x ) 有最小值, 故当产量为300 吨时, 平均成本最低。
例5、某煤矿投资2000万元建成，在时刻t的追加成本和增加收益分别为（百万元/年）
试确定该矿的何时停止生产可获得最大利润？最大利益是多少？
解：有极值存在的必要条件，即

可解得 t=8

故=8时是最佳终止时间，此时的利润为

4􀀁 利用定积分求消费者剩余与生产者剩余
在经济管理中, 一般说来, 商品价格低, 需求就大; 反之, 商品价格高, 需求就小, 因此需求函数Q = f( P)是价格P的单调递减函数。
同时商品价格低, 生产者就不愿生产, 因而供给就少; 反之, 商品价格高, 供给就多, 因此供给函数Q= g( P)是价格P的单调递增函数。
由于函数Q = f( P)与Q = g( P)都是单调函数, 所以分别存在反函数P=与P= , 此时函数P=也称为需求函数, 而P=也称为供给函数。
需求曲线(函数) P=与供给曲线(函数) P=的交点A( P* , Q* )称为均衡点。在此点供需达到均衡。均衡点的价格P* 称为均衡价格, 即对某商品而言, 顾客愿买、生产者愿卖的价格。如果消费者以比他们原来预期的价格低