文档介绍：本科毕业论文
题目矩阵的QR分解及应用
系别数学与信息科学学院
专业数学与应用数学
指导教师刘熠
评阅教师
班级 2008级3班
姓名杨秀忠
学号
2011年 5月 16 日
目录
摘要 I
Abstract I
１引言 1
2 利用Schmidt正交化求矩阵的QR分解 1
3 利用Householder变换求矩阵的QR分解 4
4 利用Givens变换求矩阵的QR分解 7
5 利用初等变换求矩阵的QR分解 10
6　矩阵QR分解的应用 12
参考文献 13
结束语 13
致谢 14
摘要：矩阵是数学研究中一类重要的工具之一，有着非常广泛的应用，矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键作用．矩阵的QR分解可以利用Schmidt正交化、Householder矩阵变换、Givens矩阵变换以及矩阵的初等变换等方法进行．本文给出了这几种方法的证明及简单的应用．
关键词：QR分解;Schmidt正交化、Householder矩阵变换、Givens矩阵变换、初等变换．
　　Abstract：The matrix is a important tool in class of mathematical research, and it has a very wide range of applications plays a key role in matrix theory and development of modern computational mathematics. The methods of matrix QR decompose have such as Schmidt orthogonalization method, Householder matrix transformation, Givens matrix transformation and elementary transformation to matrix. in this paper , the proof of these methods and simple applications.
　　Key words： QR decompose;　Schmidt orthogonalization;　Householder matrix transformation;　Givens matrix transformation;　elementary transformation
1引言
　　如果实非奇异矩阵A能够化成正交矩阵Q与实非奇异上三角矩阵R的乘积，即
A=QR (1)
则称（1）为A的QR分解．
　　矩阵的QR分解是一种特殊的三角分解，在解决矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重要的作用，而且得到他们的精确解非常重要，但其计算一直是很繁琐的数学问题．特别是当矩阵的阶数较高时，计算量非常大，且不易求其精确解时，故在工程技术上，用QR分解可以得到其在某一精度水平上的近似解．QR分解也是特征值算法及QR算法的基础．下面给出4种求求矩阵QR分解的方法及一个简单的应用，以加强对QR分解思想及方法的深刻理解．
2利用Schmidt正交化求矩阵的QR分解
　　定理1．1　设，则可以唯一地分解为

其中是正交矩阵，是实非奇异上三角矩阵．
　　证明　设，则，，，是线性无关的．
用Schmidt方法将，，，正交化，得
，
，

．
其中，
将上式改写为
，
，