文档介绍：1、换元积分法
、第一换元法（凑微分法）
令，若已知，则有
其中是可微函数，是任意常数。
（1）、
具体应用为
=
（2）
、、均为常数，且。
例如：
（3）为常数，
（4）且；
（5）

（6）
（7）
（8）
（9），
在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用，例如求时，应将凑成；求时，应将凑成；而求时，就不能照搬上述两种凑法，应将凑成，即。
1、

2、
3、

4、

5、

6、

7、

8、

9、
解：

10、解：

11、

、第二换元法：
令，常用于被积函数含或等形式。
代换名称
被积函数含有
换元式
三
角
代
换
无
理
代
换
即
即
为的最小公倍数
。
注：上述代换的本质是去掉被积函数中的根号
1、被积函数中含一般根式
（1）
解：令
原式

（2）、令
原式
（2）
解. 令

=
（3）
解. 方法一: 令,
=
方法二:
==
3（1）（2）
（3）（4）
解
（1）因被积表达式含有，故设，则，
于是
由可知，，所以
（2）为了去掉根式设，则
于是

由得，，所以
（3）为了去掉，设，则
于是

由可知于是
小结从上面例子看出,进行三角换元后，得到的积分结果一般都是关于的三角函数式，用还原时，可以引进三角函数式或反三角函数的运算，也可以用“三角形法”进行还原计算，如图的常用的三种三角代换类型简图，根据简图，则很容易计算出其它的三角函数式。
例如图（2），设则可设直角三角形角的对边长为，邻边长为，故斜长为，从图中看出。
（4）方法一：用第二换元积分法
由于
，
设则于是
将代回，因此
方法二：用凑微分法

那么方法一和方法二的结果是否一致呢？检验如下：

3、
分析：对于被积函数含有的积分,一般不能做代换，而应将配平方，然后作变量代换，归结为含、的积分后再用第二换元法求解。
解由于
设，则于是
根据材料上的补充公式（8），再将代回，所以
原积分
4、（1）（2）、
分析：。
（1）解：令

原式
（2）解：设，则于是

5、（多重换元）
解：设则，于是
再设，则
原积分
将即代回，于是
2、分部积分法
设是可微函数，且或有原函数，则有分部积分公式：
或
当被积函数是两个函数的乘积形式时，如果用以前的方法都不易计算，则可考虑用分部积分法求解，用分部积分法求积分时首先要将被积函数凑成或的形式，这一步类似于凑微分，然后应用分部积分公式，或，再计算，即得到积分结果。显然，用分部积分法计算不定积分时，关键是如何恰当地选择谁做和的原则是：①根据容易求出；②要比原积分容易计算，实际中总结出一些常见的适用分部积分法求