文档介绍：2002 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling (CUMCM 2003)

车灯线光源的优化设计

靳战鹏胡成臣张金红

指导教练:封建湖

西北工业大学

2002 年 9 月
车灯线光源的优化设计

摘要

汽车前照灯作为一个完整的照明光学系统,对汽车的行驶安全性有着极其重
要的影响,既要照亮汽车前方的路面和交通信号标志,又不能给相向行车的驾驶
员造成不舒服的眩光。
本题提出了一个以均匀发光体作为光源,以旋转抛物面为反射曲面的车灯模
型,要求在符合设计规范的条件下,设计一个使光源功率最小的线光源的合理长
度值,并求出其照亮区域。
为解决题中提出的问题,本文首先将线光源划分成若干个小段,每个小段等
效为点光源来处理。然后,依据几何光学中的反射定律,建立了光迹追踪模型,
确定了线光源上任意一点发出的光线经抛物面反射后投到测试屏上的具体位置。
之后按照光照度与发光强度的余弦定律,求得反射面上的光照度,进而获得测试
屏上每一点的光照度。在 B、C 两点的光强度满足设计规范的要求下,利用搜索
计算方法,获得了使功率最小的线光源近似最优长度 L=。为寻求线光源
在测试屏上的照亮区域,本文将反射面和测试屏都进行了网格划分,按照光迹追
踪模型,将测试屏上有光线到达的网格加以标记,所有加以标记的网格覆盖的区
域就是线光源在测试屏上的亮区。最后我们针对实际情况讨论了现有规范的合理
性,提出了针对不同要求下设计规范的改进策略,并对模型进行了分析和推广,
验证了模型的合理性和实用性。

【关键词】光迹追踪模型线光源光照度发光强度反射定律

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车灯线光源的优化设计
一、问题的重述
安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面,车灯的对称轴水平地指向正
前方, 其开口半径 36 毫米,深度毫米。经过车灯的焦点,在与对称轴相垂
直的水平方向,对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范
标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。在焦点 F 正前方 25 米处的 A 点放置一测
试屏,屏与 FA 垂直,用以测试车灯的反射光。在屏上过 A 点引出一条与地面相
平行的直线,在该直线 A 点的同侧取 B 点和 C 点,使 AC=2AB= 米。要求 C
点的光强度不小于某一额定值(可取为 1 个单位),B 点的光强度不小于该额定
值的两倍(只须考虑一次反射)。
请解决下列问题:
1) 在满足该设计规范的条件下,计算线光源长度,使线光源的功率最小。
2) 对得到的线光源长度,在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
3) 讨论该设计规范的合理性。

二、符号说明与基本假设

符号含义
Φ光通量(单位:流明 lm)
E 光照度(单位:勒克斯 lx)
I 光源发光强度(单位:坎德拉 cd)
L 线光源总长度(单位:毫米 mm)
l 线光源长度的一半(单位:毫米 mm)
zyx ),,( 旋转抛物面上点的坐标
ZYX ),,( 测试屏上点的坐标
ρ空气衰减系数
F 旋转抛物面的焦点
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车灯线光源的优化设计
P 线光源功率
ϕ空间直线(向量)的夹角
Ω空间立体角度数
S 空间曲面的面积

1. 线光源长度均匀分布;
2. 将线光源视为无数个亮度相等的点光源;
3. 漫反射能量损失均匀,大气中杂质分布均匀;
4. 只考虑光源经一次反射后光线到达测试屏的情况;
5. 光强额定值设为 1 个单位;

三、问题的分析
为了求解本问题, , 光
源的功率 P 与光源的发光强度 I 及其产生的光通量Φ正相关[1],因而用光源的
发光强度 I 或产生的光通量Φ可用来衡量光源的功率,用光照度衡量被照物上的
光强度。
其次,当光源与反射面之间的距离比光源尺寸大得多时(10 倍以上),才能
把该光源当成点光源来处理,而一般的汽车前照灯中,灯丝的长度是 3-7mm,而
反射面的焦距为 15-40mm,因而不能作为点光源来处理。为数学上处理方便起见,
可以把灯丝看成是带有一定温度分布的线状光源。我们将灯丝分成若干微小段
dl ,dl 的长度相对于反射面来说足可以被当作一个点光源来处理。