文档介绍：基本方程组的数值求解
一、引言
控制层流和湍流燃烧的微分方程组的几个特点:
方程很复杂,无法得到分析解,需要数值求解。
各个方程的结构相似,都包含时间导数项、对流项、扩散项和源项几部分。因此,各个方程可以用相同的方法求解。其中动量方程可写成
(1)
方程是非线性的,比如对流项有三个应变量,是三次项。非线性方程需要用迭代方法求解。
各方程之间是互相耦合的。求解时,需对所有方程进行联立求解。
二、积分区域与微分方程的离散化

积分区域的离散化,把参数连续变化的流场用有限个点来代替
交线的交点称为网格的结点
两相邻结点之间的距离称为网格步长
时间坐标上定出有限个离散点,相邻两离散点间的距离为时间步长
图1 网格结点的符号
X3
X2
X1
P

利用连续方程,一维非定常流动的方程写为
(2)
在控制容积上积分,并利用奥-高定律,得

上标n表示当前时间层的值;上标(n-1)表示前一时间层的值
对流项和扩散项的参数暂时未注明取哪一个时间层的值
式中扩散通量一般用中心差分:
, (4)
但在对流项中,e点和w点的值可以用不同的插值方法得出。
图2 控制容积
控制容积在x方向为等距网格,长度为,其它两个方向上取单位长度
控制容积在与x方向垂直的面元面积=1
控制体的体积
三、交错网格
在用控制容积法建立差分方程时,需用插值办法计算差分方程的系数
Harlow等人提出用交错网格,以减少因插值而引进的误差
在这种网格中,速度定义在两结点之间的中点上,其余参数仍定义在网格线的交点上
实线的交点定义了除速度分量以外的所有参数,称为主结点
实线与虚线的交点定义了不同的速度分量,称为速度的结点
计算标量的对流通量时,速度就定义在控制体的面之上,毋须插值
图3 交错网格
在建立动量方程(比如说u)的差分方程时,交错网格的优点更为突出
在非交错网格中,P点压力梯度的差商近似为
在交错网格中,w点压力梯度的差商近似为
用交错网格的精度比非交错网格要高得多
四、差分格式

在计算数学中,为评价差分格式,提出了相容性、稳定性、耗散性、色散性等原则,并发展了一系列的分析方法
为了容易理解,这里从物理的真实性、收敛性及解的精度几方面进行讨论

差分方程可以写为
(5)
式中,取和号下的指数nb表示P点周围的结点。对一维问题,是两项相加,二维问题是四项相加,余此类推。
1)物理上的真实性
①差分方程的系数要同号:在差分方程(5)中,Bnb和BP要同号
②在控制面上,通量要保持一致:在计算两个控制体的通量时,要保证在同一面元上有相同的表示式,不然的话,在这个面元上就得引进一个小的源或汇,以便保证参数总的守恒。
2)迭代求解的收敛性
对于非线性方程组的求解,目前还没有成熟的理论,可借用线性代数方程组的原则对差分方程进行一些限制。斯卡巴勒(Scarborough)指出:
①所有结点的差分方程,其系数之和需满足
(6)
②至少有一个结点,系数之和满足
(7)
对于非线性代数方程,上述条件是充分的,但不一定是必要的