文档介绍：整式方程与方程组
 
【重点、难点、考点】
重点:了解方程的基本概念,掌握整式方程(组)的基本解法,灵活选用适当的解法。
难点:有关一元二次方程知识的综合运用是本节的难点。
考点:方程历来是中考命题的重点和热点,题目约占全卷的10%~20%,分数约占15%~25%,主要用填空题,选择题考查方程的基本概念和基础知识,用解答题考查方程的解法和方程知识的基本应用,用方程应用题考查数学应用能力。
 
【经典范例引路】
例1 ①若方程组有两组相同的实数解,则m的值是。(2001年,杭州中考题)
解①m=2
②阅读材料解答问题(2001年大连市中考题)
为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,设x2-1=y,则原方程化为y2-5y+4=0 ①
解得y1=1,y2=4,当y=1时,x2-1=0 ∴x2=2 ∴x=±
当y=4时,x2-1=4,∴x2=5,x=±
∴原方程的解为x1=,x2=-,x3=,x4=-
解答问题(1)填空在由原方程得到①的过程中利用法达到降次的目的,体现了的数学思想。
解(1)换元法,转化
(2)解方程x4-x2-6=0
(2)设x2=y,则x4=y2,原方程可化为y2-y-6=0,得y1=3,y2=-2
当y =3时,x2=3,∴x=±,当y2= -2时,x2=-2无实根
∴原方程的解为x1=,x2=-
 
【解题技巧点拨】
(1)正确理解和运用方程及方程组的有关定义利用代入——消元的思想,将问题转化为关于参数的一个方程,求得m的值。
(2)正确地换元,到达降次的目的,从而使问题迎刃而解。
例2 已知关于x的方程kx2+(2k-1)x+k-1=0,①只有整数根,且关于y的一元二次方程(k-1)y2-3y+m=0 ②有两个实数根y1和y2。
(1)当k为整数时,确定k的值。
(2)在(1)的条件下,若m>-2,用关于m的代数式表示y12+y22。
解(1)当k=0时,方程①化为-x-1=0,x=1 ,方程有整数根,当k≠0时,方程①化为(x+1)(kx+k-1)=0
∴x1=-1,x2=-1+ ∵方程①的根是整数,所以k为整数的倒数
∵k是整数,∴k=±1,此时△=1>0
但当k=1时,(k-1) 2 y2-3y+m=0不是一元一次方程
∴k=1(舍去) ∴k=0,k=-1
(2)当k=0时,方程(2)化为-y2-3y+m=0
∵方程②有两个实数根,∴△=9+4m≥0即m≥-
又m>-2,∴m>-2时,y12+y22=9+2m
当k=-1时,方程(2)化为-2y2-3y+m=0,方程有两实根
∴△=9+8m≥0,即m≥-,∴m>-2.
∴-2<m<-,方程(2)无实根,当m≥-时,有y12+y22=(y1+y2)2-2y1·y2=+m
 
【解题技巧点拨】
(1)当题设中未明确指出方程的次数,要对二次项系数等于0和不等于0两种情况讨论,(2)求方程根的非对称式的值,是近年来各地中考的一种新题型,它的解法一般采用根的定义转化法,化非对称式为对称式,再利用根与系数的关系进行求值。
 
【同步达纲练习】
一、填空
∶y∶z=3∶4∶7且2x-y+z=18则x+2y-z= 。
+2y=15的正整数解的个数是。