文档介绍：
在时间坐标上,一个显著的特点是只有一阶导数项,没有高阶导数项,考虑定常二维边界层方程
其中在方向也只有一阶导数,可称为类时间坐标
此处的讨论同样适用于有类时间坐标的问题。
时间导数项在控制容积上积分,得
(45)
这里假定、在整个控制容积中是均匀的,网格不随时间而变
在时间导数项的差分式子中,包含了两个时间层(在类时间坐标上是两个截面)的参数值
与此相对应,其它坐标方向的对流项、扩散项以及源项中的参数,在时间层上可以有不同的取法,因而可以得到显式、隐式和克兰克-尼科尔森(Crank-Nicholson)格式
1)显式差分格式
(46)
2)隐式差分格式
(47)
3)克兰克-尼科尔森格式
若对流项、扩散项和源项中的参数都取两个时间层上的算术平均值,可得差分方程

(48)
克兰克-尼科尔森格式的差分方程也需要与其它结点的差分方程联立求解。当时间步长较小时,其精度比隐式格式高。
4、源项的差分
设源项在控制容积内均匀,并等于中心点的值,则有
(49)
微分方程离散化后得到的是一个拟线性代数方程,但源项往往是参数的非线性函数
为能够用解线性代数方程的方法求解差分方程,需要将源项线性化
源项线性化有两种办法: 一是用前一时刻的参数代入源项,算得的值作为常数参加下一时刻(或下一循环)的计算;二是假定源项与参数的函数关系可以近似用式子
(50)
表示
代入差分方程得

(51)
其中Sc和Sp可能也是的函数,因此式(50)也是拟线性关系。
第二种办法优于第一种办法
为了使拟线性代数方程组收敛,得到有意义的解,Sc和Sp必须满足
, (52)
在满足条件(52)的基础上, 和的确定有一定的任意性。一个方便的办法是用切线使其线性化,即令
(53)
这时,
按照切线法得到的和往往很复杂,而且不一定满足条件(52)
比较多的是用经验办法来确定
五、代表方程组的求解
1、概述
采用有限容积法在已生成的网格上将所求解变量的控制方程离散后,就形成了各求解变量的代数方程组
求解离散化所得的代数方程组是流动与燃烧过程数值计算的最后一个环节
求解的方法有两大类:直接解法与迭代法
迭代法的研究主要是研究收敛性以及如何加快收敛速度
求解代数方程的解法包括Gauss消元法、三对角阵(TDMA)算法、五对角阵(PDMA)算法等
现有文献中求解由QUICK等高阶格式形成的代数方程组时多采用TDMA方法求解,TDMA算法是Gauss消元法的一种特例(每一行上仅三个非零元素)
2. Gauss消元法
3. TDMA算法
对图1中S-N方向的网格线进行计算时,差分方程需重新整理为

(56)
方程右端各项是邻近网格线上的结点值(或源项),取前一循环得到的值,故为已知值
每个节点的代数方程中最多只包含三个节点的未知值,可以认为其它节点上未知值的系数均为零
如果把上述有限差分离散方程组写成矩阵的形式,其系数阵是一个三对角阵—仅对角元素及其上下邻位上的元素不为零,而其它元素均为零
把Gauss消元法应用于这种情形,便构成了称为三对角阵算法的有效求解方法,简记为TDMA(Tridiagonal Matrix Algorithm)
(57)
对于这种系数矩阵为三对角线矩阵的方程组,TDMA求解的具体步骤是:
(1)第一个方程的各项除以B1,得, , 。第二个方程减去化简后的第一个方程乘以A2,并将所得新方程的各项除以( ),最后得
对第三个以后的每个方程都作同样的处理,得到方程组系数的通式为:

(58)