文档介绍：矩阵代数复习 1、矩阵定义 一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵的元素排列为m 行和n列，称为mn 阶矩阵。 A = a a a a a a a a a n n m m mn 11 12 1 21 22 2 1 2 L L M O M L é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú 2、方阵 一个具有相同的行数和列数的矩阵，即 m = n 时，称为 n 阶方阵。 3、行矩阵和列矩阵 一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如： A = [ ] a a a a n 11 12 13 1 · · · 由单列组成的矩阵称为列矩阵，如： 矩阵位移法 2021/1/31 1 4、纯量 仅由一个单独的元素所组成的11阶矩阵称为纯量。 5、矩阵乘法 两个规则： （1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即 A B C p l m p l n m n ´ ´ ´ = = 当 时才能相乘 A B = a a a a b b 11 12 21 22 11 21 é ë ù û ú é ë ù û ú 共形 2 × 2 2 × 1 B A= b b a a a a 11 21 11 12 21 22 é ë ù û ú é ë ù û ú 非 共形 2 × 1 2 × 2 （2）不具有交换律，即 AB ¹ BA 矩阵位移法 2021/1/31 2 6、转置矩阵 将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为原矩阵的转置矩阵，如： A= a a a a a a 11 12 21 22 31 32 é ë ê ê ê ù û ú ú ú 其转置矩阵为 A T = é ë ê ù û ú a a a a a a 11 21 31 12 22 32 当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置矩阵之乘积。若 A=B C D 则 A T =D T C T B T 7、零矩阵 元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。 若 AB=0 ， 但不一定 A=0 或 B=0。 矩阵位移法 2021/1/31 3 任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即 AI = A IA = A 矩阵位移法 2021/1/31 4 10、逆矩阵 在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法， 除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若 AB = C 则 B = A - 1 C 此处 A-1 称为矩阵 A 的逆矩阵。 一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义： A A - 1 = A - 1 A = I 矩阵求逆时必须满足两个条件： （1）矩阵是一个方阵。 （2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩阵称为奇异矩阵）。 11、正交矩阵 若一方阵A 每一行（列）的各个元素平方之和等于1，而 所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正交矩阵，则 A = cos sin sin cos a a a a - é ë ê ù û ú 正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即 A - 1 = A T 矩阵位移法 2021/1/31 5 9-1 结构的离散化与杆端位移、杆端力的符号 结构的离散化：等截面直杆单元 ① ② ③ ④ ⑤ A B C E D F ① ② ③ ④ A B D E C 矩阵位移法 2021/1/31 6 杆端力和杆端位移的符号 ■弯矩、转角：绕杆端顺时针为正； ■其它：与坐标轴同向为正。 i E，I，A，l j ■ ：顺时针为正 e e 杆端位移 杆端力 局部坐标系 e 矩阵位移法 2021/1/31 7 9-2 局部坐标系中自由单元的单元刚度矩阵 … … … … e e e