文档介绍：第九章梁的强度和刚度计算
梁横截面上的正应力
梁横截面上的剪应力
梁的强度计算
弯曲中心的概念
梁的变形和刚度计算
应力状态和强度理论
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第一节
第二节
第三节
第四节
第五节
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第六节
第七章梁的强度和刚度计算
本章研究梁的应力和变形计算,解决梁的强度和刚度计算问题。
梁的一般情况是横截面上同时存在剪力和弯矩两种内力,称作剪力(横力)弯曲。与此相应的截面上任一点处有剪应力τ和正应力σ。且剪应力τ只与剪力Q有关,正应力σ只与弯矩M有关。
横截面上只有弯矩而没有剪力的弯曲称作纯弯曲。
如图简支梁,AC、DB段为横力弯曲;CD段为纯弯曲。
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第一节梁横截面上的正应力
一、实验观察与分析:
为推导梁横截面上的正应力,考虑纯弯曲情况。
用三关系法:实验观察→平面假设;
几何关系→变形规律,物理关系→应力规律,静力学关系→应力公式。
①横线仍为直线,但倾斜角度d;
②纵线由直变弯,仍与横线正交,
凸边伸长, 凹边缩短;
③横截面相对于纵向伸长区域缩
短,纵向缩短区域伸长。
假设:①平面假设—变形前后横
截面保持平面不变;
中性层—长度不变的纤维层; 中性轴—中性层与横截面的交线。
②单向受力假设—纵向纤维之间互不挤压仅伸长或缩短。
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二、正应力公式的推导:
(一)变形几何关系:
取梁微段dx考虑变形几何关系,得应变规律:
当M>0时:y>0,ε>0,为受拉区;y<0,ε<0,为受压区。
(二)物理关系:
由假设2及虎克定律,梁横截面上的正应力变化规律为:
此式表明:梁横截面上任一点的正应力,与该点距中性轴(z轴)的距离y成正比,而与该点距y轴的距离z无关。正应力沿截面高度呈直线规律分布。中性层处y=0,σ=0;上下边缘处有ymax,故有σmax。
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(三)静力学关系:
—中性轴Z必通过形心。
—中性轴是截面的形心主轴。
纯弯曲梁上各点只有正应力,微面积dA上法向合力dN=σdA。截面上各微内力形成沿X轴的空间平行力系。可简化成三个内力分量:Nx、My、Mz。
式中: Iz—截面对其中性轴的惯性矩; M—截面上的弯矩;
y—所求正应力点到中性轴的距离。
—纯弯曲梁横截面上任一点正应力计算公式
为避免符号错误,计算中各量以绝对值代入,σ符号依点所处区域直接判断。(根据弯矩方向,中性轴将截面分为受拉区和受压区;M>0,上压下拉;M<0,上拉下压。)
—纯弯曲梁的变形计算公式
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正应力公式的使用范围:①纯弯曲梁;②弹性范围(σ≤σp);③平面弯曲(截面有对称轴,形状不限);④细长梁的横力弯曲。(一般l/h>5为细长梁,其计算误差满足工程精度要求δ<5%。)
例7-1 图示悬臂梁。试求C截面上a、b两点的正应力和该截面最大拉、压应力。
解:(1)计算C截面的弯矩M
(2)确定中性轴位置,并计算惯性矩
(3)求a、b两点的正应力
(4)求C截面最大拉应力+max和最大压应力-max
(在截面上下边缘。)
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例7-2 18号工字钢制成的简支梁如图所示。试求D截面上a、b两点处的正应力。
解:(1)求D截面的弯矩:
MD=
(3)求D截面a、b两点的正应力:
(2)确定中性轴位置
和截面惯性矩:
查型钢表
IZ=1660cm4
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第二节梁横截面上的剪应力
一、矩形截面梁:
矩形截面梁任意截面上剪力Q都与对称轴重合。对狭长横截面上剪应力的分布规律可作两个假设:
(1)横截面上各点均与该面上Q同向且平行;
(2)剪应力沿截面宽度均匀分布。
从梁微段中取窄条cdmn分析:
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矩形截面剪应力计算公式:
式中:Q—横截面上的剪力;
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩;
b—所求剪应力作用点处的截面宽度;
Sz *—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上)的截面积A*对中性轴的面积矩。
矩形截面:
τ沿截面高度按抛物线规律变化。
由剪切虎克定律τ=Gγ,知剪应变沿截面高度也按抛物线规律变化,引起截面翘曲。但变形很小,可忽略不计。
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二、其它形状截面的剪应力:
1. 工字形截面梁:
工字形截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。
1)腹板上的剪应力:腹板为狭长矩形,承担截面绝大部分剪应力。
式中:Q—横截面上的剪力; h1—腹板高度;
Iz—截面对z轴惯性矩; d—腹板厚度;
Szmax—中性轴一侧面积对中性轴的惯