文档介绍：平面几何定理及其证明
梅涅劳斯定理
1。梅涅劳斯定理及其证明
G
定理:一条直线与ABＣ的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、Ｅ、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，则有
　。
证明：如图，过点C作ＡB的平行线，交EＦ于点G。
因为CＧ // AＢ,所以 ————（1)
因为CG ／／ AＢ，所以 ————（2)
由(１)÷（２)可得，即得．
2．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明
定理:在ABC的边AＢ、BＣ上各有一点Ｄ、Ｅ，在边AC的延长线上有一点Ｆ，若,那么，D、E、F三点共线．
证明：设直线EF交ＡB于点D/，则据梅涅劳斯定理有
．
因为 ,、D/都在线段ＡB上,所以点D与D/重合．即得D、Ｅ、F三点共线．
塞瓦定理
3．塞瓦定理及其证明
定理:在ABＣ内一点P，该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交
ABC三边ＡB、BＣ、CA于点Ｄ、E、F，且Ｄ、Ｅ、F三点均不是ＡBC的顶点，则有
　　　．
证明：运用面积比可得．
根据等比定理有
,
所以。同理可得，。
三式相乘得.
4．塞瓦定理的逆定理及其证明
定理:在ＡBC三边AB、BC、CA上各有一点Ｄ、E、Ｆ，且D、E、F均不是ＡBC的顶点，若，那么直线ＣD、AE、BＦ三线共点．
证明:设直线AE与直线ＢF交于点P，直线ＣＰ交AＢ于点D/,则据塞瓦定理有
。
　　因为，所以有．由于点D、Ｄ/都在线段AB上,所以点D与Ｄ/、E、F三点共线．
西姆松定理
５。西姆松定理及其证明
定理：从ABC外接圆上任意一点Ｐ向BＣ、CＡ、AB或其延长线引垂线，垂足分别为D、Ｅ、F，则D、Ｅ、F三点共线．
证明：如图示,连接PC，连接 EＦ　交ＢC于点Ｄ/，连接ＰＤ/.
因为ＰEAE,PFAＦ，所以Ａ、F、P、Ｅ四点共圆，可得FAE =FEP．
因为A、B、P、C四点共圆，所以BAC ＝BCP,即FＡＥ　=BCＰ．
所以，FEＰ＝BCP,即D/EP　＝D/CP，可得C、D/、P、Ｅ四点共圆．
所以，CD／P ＋ＣEP ＝　= ９00,所以ＣD/P ＝９00,即ＰD/BC。
由于过点P作BＣ的垂线，垂足只有一个，所以点D与D/重合，即得D、E、F三点共线．
E
M
托勒密定理
　
定理:凸四边形ABCD是某圆的内接四边形，则有
AB·ＣD ＋　ＢC·AD ＝　AC·BD。
证明:设点Ｍ是对角线AC与ＢＤ的交点，在线段BD上找一点，使得DAE　=BAM.
因为ＡＤB =ACB,即ADE ＝ACB，所以ＡDＥ∽ACB，即得
,即　——-—（１）
由于DＡE　＝BAM，所以DAＭ =BＡE，即DAC ＝ＢAE。而ABD =ACＤ,即ABE =ＡCＤ,所以ＡBE∽AＣD。即得
　，即 -———（２）
由（１）+(2)得
　．
所以ＡB·CD ＋ BC·AD = ＡC·ＢＤ。

定理：如果凸四边形ＡBCD满足AＢ×ＣD +　BＣ×AD = AＣ×BD,那么Ａ、Ｂ、C、Ｄ四点共圆。
证法１（同一法）：
在凸四边形ABＣＤ