文档介绍：报告厅座位设计模型一、问题的提出本文针对报告厅座位设计问题建立了数学模型,怎样使观众能够舒服地观看听报告, 从而将问题转化为使观众对座位的满意程度达到最大。已知报告厅座位的满意度主要取决于视角?和仰角?,视角?是观众眼睛到屏幕上, 下边视线的夹角, ?越大越好;仰角?是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角, ?过大使人的头部过分上仰,引起不舒服,因而一般要求?不超过?30 。通过分析求下列问题: (1) 在已知地板线倾角??10 ?,求最佳座位的所在位置。(2) 已知?范围不超过?20 ,为使所有观众的平均满意程度最大,求地板线倾角?。(3) 为进一步提高观众的满意程度,地板线应设计成什么形状。二、问题的分析每一个到报告厅的观众都想坐在最佳位置,座位的满意程度主要取决于水平视角?和仰角?,?越大越好,而?越小越好,最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点, 使学生对两者的综合满意程度达到最大。针对这个问题,本文通过主观判断分别对水平视角?和仰角?取权重,建立适当的坐标系,从而建立一个线形型满意度函数。针对问题一,已知地板线倾角,求最佳座位所在,即将问题转化求综合满意度函数的最大值,这可利用 a Mathematic 4 数学软件求函数极值的方法来求解;针对问题二,可将所有观众视为离散的点,要使所有观众的平均满意程度达到最大,即将问题转化求满意度函数的平均值的最大值。对此仍然可以利用问题一所建立的满意度函数,只是将自变量转化为地板线倾角;针对问题三,即在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计,使观众的平均满意程度可以进一步提高。本文是在满意度呈线性的基础上来建立模型的,为了使模型简化,以便更好地说明问题, 文中将作以下假设。 2 三、模型的假设。。。。。 ,观众对其满意程度相同。四、符号说明?水平视角?仰角?地板线倾角 d 第一排离屏幕水平距离 h 屏幕高度?S 观众对水平视角为?的满意程度?S 观众对仰角为?的满意程度?C 对水平视角?所取的权重?C 对仰角?所取的权重 S 平均满意程度五、模型的建立与求解 1. 问题一(1) 模型的建立以第一排观众的眼睛为原点,建立平面直角坐标系,如图 1所示: 3 图1 其中, AB 为屏幕, MF 为地板线, OE 为所有的观众的眼睛所在的直线。设 OE 上任意一点 P 的坐标为) sin , cos (????,其中=OP 为过点 P 作 AC 的垂线, 垂足为 G ,根据题意可知,其中??? APB ,??? APG ,????? EOQ FMN , ),(?A ,),(?B ,),(??C 。则有: ????? cos sin || || tan???? PG AG (1) ?????? cos sin || ||) tan( ????? PG BG (2) 由公式?????? tan tan 1 tan tan ) tan( ????转化可得到: ) tan( tan 1 ) tan( tan tan??????