文档介绍：1 函数的增减性一、概念一般地,设函数 y=f(x) 的定义域为 A ,区间 I? A 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 ,x2 ,当 x1 <x2 时,都有 f(x 1 )<f(x 2 ) ,那么就说 y=f(x) 在区间 I 上是增函数。 I 称为 y=f(x) 的单调增区间。如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 ,x2 ,当 x1 <x2 时,都有 f(x 1 )>f(x 2 ) ,那么就说在这个区间 I 上是减函数。 I 称为 y=f(x) 的单调减区间。 1. 证明函数 x xxf 2)(??在),2( ??上是增函数. 2 .归纳解题步骤归纳证明函数单调性的步骤:设元、作差、变形、断号、定论. 练习: 证明函数 xxf?)( 在),0[ ??上是增函数. 问题: 要证明函数)(xf 在区间),(ba 上是增函数, 除了用定义来证, 如果可以证得对任意的),(, 21baxx?, 且21xx?有0 )()( 12 12???xx xfxf 可以吗? ?)( 在),0[ ??上是增函数. ①如果函数?? xf 对区间 D 内的任意 21,xx ,当 21xx?时都有???? 21xfxf?,则?? xf 在D 内是增函数; 当21xx?时都有???? 21xfxf?,则?? xf 在D 内是减函数。②设?? baxx,, 21?,那么?????? xfxx xfxf????0 21 21 是增函数; ?????? xfxx xfxf????0 21 21 是减函数。二、主要方法:1. 讨论函数单调性必须在其定义域内进行, 因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域, 函数的单调区间是定义域的子集; 2 2. 判断函数的单调性的方法有: ?? 1 用定义; ?? 2 用已知函数的单调性; ?? 3 利用函数的导数; ?? 4 如果( ) f x 在区间 D 上是增(减)函数,那么( ) f x 在D 的任一非空子区间上也是增(减)函数?? 5 图象法; ?? 6 复合函数的单调性结论:“同增异减”?? 7 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性. ?? 8 互为反函数的两个函数具有相同的单调性. (9) 在公共定义域内, 增函数?)(xf 增函数)(xg 是增函数; 减函数?)(xf 减函数)(xg 是减函数; 增函数?)(xf 减函数)(xg 是增函数;减函数?)(xf 增函数)(xg 是减函数。?? 10 函数)0,0(????bax baxy 在, , b b a a ? ?????? ??? ?? ?? ?? ???或上单调递增;在, 0 0 b b a a ? ????? ?? ?? ?? ???或, 上是单调递减。 3. 证明函数单调性的方法: ?? 1 利用单调性定义①: 如果函数?? xf 对区间 D 内的任意 21,xx ,当21xx?时都有???? 21xfxf?,则?? xf 在D 内是增函数;当 21xx?时都有???? 21xfxf?,则?? xf 在D 内时减函数。?? 2 利用单调性定义②:设?? baxx,, 21?,那么?????? xfxx xfxf????0 21 21 在是增函数; ?????? xfxx xfxf????0 21 21 在是减函数。三、函数单调性课堂练习如果函数 y=f(x) 在区间 I 上是单调增函数或是单调减函数,那么就说函数 y=f(x) 在区间 I y=f(x) 的图象,根据图象写出函数的单调区间: yy abOcdx??2 ?? O2 ?? x 1. 下列函数在区间(0,+?) 上不是增函数的是( ) =2x+1 =x 2 +1 = x 3 =x 2 +2x+1 2. 下列函数中,属于增函数的是[]3 3. 若一次函数 y=kx+b(k ≠ 0)在(-∞,+∞) 上是单调递减函数,则点(k, b) 在直角坐标平面的[] A .上半平面 B .下半平面 C .左半平面 D .右半平面 4. 函数 f(x)=x 2 +2(a-1)x+2 在区间(-∞, 4) 上是减函数,则实数 a 的取值范围是[] ≥≤-≤5D. a=-3 5. 已知 f(x)=8+2x-x 2 ,如果