文档介绍：1统计量与抽样分布
1、1基本概念:统计量、样本矩、经验分布函数
总体X的样本X1,X2,…,Xn,则T(X1,X2,…,Xn)即为统计量
样本均值
样本方差
修正样本方差
样本k阶原点矩
样本k阶中心矩
经验分布函数 其中Vn(x)表示随机事件出现的次数,显然,则有
补充:
二项分布B(n,p):
EX=np DX=np(1-p)
泊松分布:
均匀分布U(a,b):
指数分布:
正态分布:
当时,
1、2统计量:充分统计量、因子分解定理、完备统计量、指数型分布族
T就是θ的充分统计量与θ无关
T就是θ的完备统计量要使E[g(T)]=0,必有g(T)=0
且h非负T就是θ的充分统计量
T就是θ的充分完备统计量
就是的充分完备统计量
1、3抽样分布:分布,t分布,F分布,分位数,正态总体样本均值与方差的分布,非正态总体样本均值的分布
分布:
T分布: 当n>2时,ET=0
F分布:
补充:
Z=X+Y的概率密度 f(x,y)就是X与Y的联合概率密度
的概率密度
的概率密度
函数:
B函数:
1、4次序统计量及其分布:次序统计量、样本中位数、样本极差R
X(k)的分布密度:
X(1)的分布密度:
X(n)的分布密度:
2参数估计
2、1点估计与优良性:概念、无偏估计、均方误差准则、相合估计(一致估计)、渐近正态估计
的均方误差:
若就是无偏估计,则
对于的任意一个无偏估计量,有,则就是的最小方差无偏估计,记MVUE
相合估计(一致估计):
2、2点估计量的求法:矩估计法、最大似然估计法
矩估计法:
求出总体的k阶原点矩:
解方程组 (k=1,2,、、、,m),得即为所求
最大似然估计法:
写出似然函数,求出lnL及似然方程 i=1,2,、、、,m
解似然方程得到,即最大似然估计 i=1,2,、、、,m
补充:
似然方程无解时,求出的定义域中使得似然函数最大的值,即为最大似然估计
2、3MVUE与有效估计:最小方差无偏估计、有效估计
T就是的充分完备统计量,就是的一个无偏估计为的惟一的MVUE
最小方差无偏估计的求解步骤:
求出参数的充分完备统计量T
求出,则就是的一个无偏估计
或求出一个无偏估计,然后改写成用T表示的函数
综合,就是的MVUE
或者:求出的矩估计或ML估计,再求效率,为1则必为MVUE
T就是的一个无偏估计,则满足信息不等式,其中或,为样本的联合分布。
最小方差无偏估计达到罗-克拉姆下界有效估计量效率为1
无偏估计的效率:
就是的最大似然估计,且就是的充分统计量就是的有效估计
2、4区间估计:概念、正态总体区间估计(期望、方差、均值差、方差比)及单侧估计、非正态总体参数与区间估计
一个总体的情况:
已知,求的置信区间:
未知,求的置信区间:
已知,求的置信区间:
未知,求的置信区间:
两个总体的情况:,
均已知时,求的区间估计:
未知时,求的区间估计:
未知时,求:
非正态总体的区间估计:
当时, ,故用Sn代替Sn-1
3统计决策与贝叶斯估计
3、1统计决策的基本概念:三要素、统计决策函数及风险函数
三要素:样本空间与分布族、行动空间(判决空间)、损失函数
统计决策函数d(X):本质上就是一个统计量,可用来估计未知参数
风险函数:
就是关于的函数
3、2贝叶斯估计:先验分布与后验分布、贝叶斯风险、贝叶斯估计
求样本X=(X1,X2,、、、,Xn)的分布:
样本X与的联合概率分布:
求关于x的边缘密度
的后验密度为:
取时
的贝叶斯估计为:
贝叶斯风险为:
取时,贝叶斯估计为:
补充:
的贝叶斯估计:取损失函数,则贝叶斯估计为
3、3minimax估计
对决策空间中的决策函数d1(X),d2(X),、、、,分别求出在上的最大风险值
在所有的最大风险值中选取相对最小值,此值对应的决策函数就就是最小最大决策函数。
4假设检验
4、1基本概念:零假设(H0)与备选假设(H1)、检验规则、两类错误、势函数
零假设通常受到保护,而备选假设就是当零假设被拒绝后才能被接受。
检验规则:构造一个统计量T(X1,X2,、、、,X3),当H0服从某一分布,当H0不成立时,T的偏大偏小特征。据此,构造拒绝域W
第一类错误(弃真错误):
第二类错误(存伪错误):
势函数:
当时,为犯第一类错误的概率
当时,为犯第二类错误的概率
4、2正态总体均值与方差的假设检验:t检验、X