文档介绍：数 学 实 验 报 告
实
验
三
学院：数学与统计学院
班级：信息与计算科学(1)班
姓名： 郝玉霞
学号：7
实验三
一、实验名：最佳分数近似值
二、实验目的：研究怎样用分数近似值去给定的无理数作最佳逼近。“最佳”就是既要误差小，又要分母小。我们首先需要对“最佳”定出具体而明确的标准，还要寻找一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。
三、实验环境：学校机房，Mathematica软件。
四、实验的基本理论和方法：1、根据高中数学及大学数学中所学内容，经过分析研究，得出基本结论，利用Mathematica来进行验证，并寻找一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。
2、计算圆周率“连分数展开”方法，并且利用特定的函数来展开其他数。
3、Mathematica中常用的展开数与多项式的函数的使用；
五、实验的内容和步骤实验步骤：
1、计算对数值
对给定的正实数b，N且b1，要求对数值a=,也就是求实数a使=N，如果能找到整数p，q使,则，，以lg2为例：由==可得lg2=，再要提高精确度，就要找出更大的q使更接近10的某个幂，也就是使更接近于1。
练习题1：
让q依次取遍1到10000的所有的正整数，对每一个q，按如下的递推法则求出一个正整数p=p(q)使实数最接近于1：
q=1时，p(1)=0,(1)==2.
设已对q求出p(q)和(q)，计算2(q)，如果2(q)<,则取p(q+1)=p(q), (q+1)=2(q),如果2（q），则取p(q+1)=p(q)+1，(q+1)=.
如果(q)比以前所有的(i)()都更接近1，即|(q)-1|<|(i)-1|对所有的1iq-1成立，就取都是最佳逼近lg2的的分数近似值，它们可以展开成小数近似值。
分数对无理数的最佳逼近
设是给定的无理数。怎样的分数能够称为的最佳分数近似值？既然“最佳”的标准是既要误差小，又要分母小，如果有一个分数的分母q<Q并且误差|-|<|-|,那么就是比更佳的分数近似值，就不能说是“最佳”。反过来，如果的误差比起分母不超过Q的其他分数近似值都小，也就是|-|<|-|对所有q<Q以及q=Q且pP成立，就称给出了的最佳逼近。
比如，对π=3.···，分母为1最接近π的分数近似值为，是π最佳分数逼近。分母为2最接近π的分数近似值是，它的分母比1大，但误差不比小，是比更差的分数近似值，不是最佳。
我们也可以将误差小、分母小这两个标准综合起来，以误差Δ=|-|与分母q的乘积qΔ为标准来判定分数近似值的优劣，qΔ越小，越优，还可以进一步强化“分母小”这一要求，用Δ作衡量标准，Δ值越小越优化。
练习题2：取n =10000，让分母q依次取遍1到n的整数值，对每一个分母q，将qπ四舍五入得到一个整数p作为分子，从而得到分母为q的最接近π的分数近似值p/q.
（1）让这n个分数中按下面规则依次参加“擂台赛”，选出对π做最佳逼近的分数：
语句：
结果：