文档介绍：含参数的一元二次方程的整数根问题
对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲
对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法．
例1 m是什么整数时，方程
(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0
有两个不相等的正整数根．
解法1 首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得
由于x1，x2是正整数，所以
m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，
解得m=2．这时x1=6，x2=4．
解法2 首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知
所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即
m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，
只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．
经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．
说明 一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．
例2 已知关于x的方程
a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0
(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．
分析 “至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．
解 因为a≠0，所以
所以
所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．
例3 设m是不为零的整数，关于x的二次方程
mx2-(m-1)x＋1＝0
有有理根，求m的值．
解 一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令
Δ=(m-1)2-4m＝n2，
其中n是非负整数，于是
m2-6m+1=n2，
所以 (m-3)2-n2=8，
(m-3＋n)(m-3-n)＝8．
由于m-3＋n≥m-3-n，并且
(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)
是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以
说明 一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．