文档介绍：高等数学第六版上册课后****题答案
第一章
****题1-1
1. 设A=(-¥, -5)È(5, +¥), B=[-10, 3), 写出AÈB, AÇB, A\B及A\(A\B)的表达式.
解 AÈB=(-¥, 3)È(5, +¥),
AÇB=[-10, -5),
A\B=(-¥, -10)È(5, +¥),
A\(A\B)=[-10, -5).
2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (AÇB)C=AC ÈBC .
证明 因为
xÎ(AÇB)CÛxÏAÇBÛ xÏA或xÏBÛ xÎAC或xÎBC Û xÎAC ÈBC,
所以 (AÇB)C=AC ÈBC .
3. 设映射f : X ®Y, AÌX, BÌX . 证明
(1)f(AÈB)=f(A)Èf(B);
(2)f(AÇB)Ìf(A)Çf(B).
证明 因为
yÎf(AÈB)Û$xÎAÈB, 使f(x)=y
Û(因为xÎA或xÎB) yÎf(A)或yÎf(B)
Û yÎf(A)Èf(B),
所以 f(AÈB)=f(A)Èf(B).
(2)因为
yÎf(AÇB)Þ$xÎAÇB, 使f(x)=yÛ(因为xÎA且xÎB) yÎf(A)且yÎf(B)Þ yÎ f(A)Çf(B),
所以 f(AÇB)Ìf(A)Çf(B).
4. 设映射f : X®Y, 若存在一个映射g: Y®X, 使, , 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个xÎX, 有IX x=x; 对于每一个yÎY, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g是f的逆映射: g=f -1.
证明 因为对于任意的yÎY, 有x=g(y)ÎX, 且f(x)=f[g(y)]=Iy y=y, 即Y中任意元素都是
X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射.
又因为对于任意的x1¹x2, 必有f(x1)¹f(x2), 否则若f(x1)=f(x2)Þg[ f(x1)]=g[f(x2)] Þ x1=x2.
因此f既是单射, 又是满射, 即f是双射.
对于映射g: Y®X, 因为对每个yÎY, 有g(y)=xÎX, 且满足f(x)=f[g(y)]=Iy y=y, 按逆映射的定义, g是f的逆映射.
5. 设映射f : X®Y, AÌX . 证明:
(1)f -1(f(A))ÉA;
(2)当f是单射时, 有f -1(f(A))=A .
证明 (1)因为xÎA Þ f(x)=yÎf(A) Þ f -1(y)=xÎf -1(f(A)),
所以 f -1(f(A))ÉA.
(2)由(1)知f -1(f(A))ÉA.
另一方面, 对于任意的xÎf -1(f(A))Þ存在yÎf(A), 使f -1(y)=xÞf(x)=y . 因为yÎf(A)且f是单射, 所以xÎA. 这就证明了f -1(f(A))ÌA. 因此f -1(f(A))=A .
6. 求下列函数的自然定义域:
(1);
解 由3x+2³0得. 函数的定义域为.
(2);
解 由1-x2¹0得x¹±1. 函数的定义域为(-¥, -1)È(-1, 1)È(1, +¥).
(3);
解 由x¹0且1-x2³0得函数的定义域D=[-1, 0)È(0, 1].
(4);
解 由4-x2>0得 |x|<2. 函数的定义域为(-2, 2).
(5);
解 由x³0得函数的定义D=[0, +¥).
(6) y=tan(x+1);
解 由(k=0, ±1, ±2, × × ×)得函数的定义域为(k=0, ±1, ±2, × × ×).
(7) y=arcsin(x-3);
解 由|x-3|£1得函数的定义域D=[2, 4].
(8);
解 由3-x³0且x¹0得函数的定义域D=(-¥, 0)È(0, 3).
(9) y=ln(x+1);
解 由x+1>0得函数的定义域D=(-1, +¥).
(10).
解 由x¹0得函数的定义域D=(-¥, 0)È(0, +¥).
7. 下