文档介绍：高中数学不等式专题教师版
一、 高考动态
考试内容：
不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．
考试要求：
（1）理解不等式的性质及其证明．
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会
简单的应用．
（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
（4）掌握简单不等式的解法．
（5）理解不等式│ a│ -│ b│≤│ a+b│≤│ a│ +│ b│
二、 不 等 式 知 识 要点
1. 不等式的基本概念
（1） 不等（等）号的定义： a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.
（2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式 .
（3） 同向不等式与异向不等式 .
（4） 同解不等式与不等式的同解变形 .
2. 不等式的基本性质
（1） a b b a（对称性）
（2） a b,b c a c （传递性）
（3） a b a c b c （加法单调性）
（4） a b,c d a c b d （同向不等式相加）
（5） a b,c d a c b d （异向不等式相减）
（6） a. b,c 0 ac bc
（7） a b,c 0 ac bc （乘法单调性）
（8） a b 0,c d 0 ac bd （同向不等式相乘）
a b
(9) a b 0,0 c d （异向不等式相除）
c d
1 1
(10) a b,ab 0 （倒数关系）
a b
n n
（11） a b 0 a b ( n Z,且n 1) （平方法则）
（12） a b 0 n a n b(n Z,且n 1) （开方法则）
3. 几个重要不等式
2
（1） 若 a R,则 | a | 0,a 0
2 2 2 2
（2） 若a、b R ,则a b 2ab(或 a b 2 | ab | 2ab) （当仅当 a=b 时取等号）
a b
（3）如果 a,b 都是正数，那么 ab . （当仅当 a=b 时取等号）
2
极值定理：若 x, y R ,x y S, xy P, 则：
○1 如果 P 是定值 , 那么当 x=y 时， S 的值最小；
○2 如果 S 是定值 , 那么当 x=y 时， P 的值最大 .
利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等 .
a b c 3
(4) 若 a、b、c R ,则 abc （当仅当 a=b=c 时取等号）
3
b a
(5) 若 ab 0, 则 2 （当仅当 a=b 时取等号）
a b
2 2 2 2
(6) a 0时，| x | a x a x a 或 x a; | x | a x a a x a
（7） 若a、b R,则 || a | | b || | a b | | a | |b |
4. 几个著名不等式
（ 1）平均不等式： 如果 a,b