文档介绍：第三章布朗运动（维纳过程）

2. 1905 爱因斯坦由物理定律导出其数学描述
3. 1918后维纳提出其简明的数学公式——维纳过程
随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林
布朗运动内容
¾ 布朗运动定义
¾ 布朗运动的一些性质
¾ 与布朗运动的相关的随机过程
随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林
布朗运动定义
2
称实随机过程{Wt,t≥0}是参数为σ 的布朗运动,如果
(1) W0 = 0
(2) {Wtt , ≥ 0}是平稳的独立增量过程．
2
(3) ∀≤0 s <tW, ts−W ~ N(0,σ (t−s))
σ2 =1时，称为标准布朗运动
随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林
数字特征
设 {Wt,t≥0}
mtWW()==0, D()t t, t≥0,
RWW(,st)= C (st,)=≥min(st,),st,, 0
证明由定义易知有
mtWW()= 0,D()t=≥t,t 0
对s≥0, t ≥0,不妨设 s≤t,则
随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林
RsW (,t)= E[WstW]
=−E[(WWst0 )(W−Ws+Ws)]
2
独立性 =−E[(WWst0 )(W−Ws)] +E[Ws]
2
=+0E[Ws ]
2
=+DW[]ss(E[]W )
= s
= min(st, )
CsWW(,t)= R(s,t)−=mW(s)mW(t) min(,st)
随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林
例1 试计算标准布朗运动的一、二维分布函数
一维分布函数F(t ;xx)=P(W ≤ )
1t1
x 2
-
1 x 2t
= ed1 x
∫-∞
2πt1
(其中注意到有 N(0,t))
Wt11
随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林
例1 试计算标准布朗运动的一、二维分布函数
二维分布函数为
F(tt, ;x, x) = P(W ≤x, W ≤x)=P(W ≤xx,W +(W − W )≤ )
12 1 2 t121 t 2 t111tt2t12
令ξ = W, ηξ=−W W,则服从N(0,tt)分布，η服从N(0, −t)分布
tt12t1 1 21
所以
F(tt12, ;x1,x2)=P(ξ ≤x1,ξη+ ≤x2)
x1
=∈P(ηξ≤xy- )P( dy)
∫−∞ 2
x1
= P(ηϕ≤xy- ) ( y)dy
∫−∞ 2 t1
xx12−y
= ϕϕ− ()zdz (y)dy
∫∫−∞ −∞ tt21 t1
其中ϕ ()y 为N(0,t)分布的密度函数，
t1 1
ϕ ()z 为N(0,t-t)分布的密度函数。
tt21− 21