实变函数53-课件（PPT讲稿）.ppt

文档介绍：第第三节三节 Lesbesgue Lesbesgue 积分与积分与 Riemann Riemann 积分的关系积分的关系第五章积分论 y iy i-1 i ni i ba mE dx xfL????? 1 0 ],[ lim )()(?? Lesbesgue Lesbesgue 积分积分对值域作分划 x i-1 x i i ni iT baxfdx xfR??????1 0 || ||)( lim )()(? Riemann Riemann 积分积分对定义域作分划本节主要内容: ?若 f(x) Riemann 可积,则 f(x) 在[ a,b] 上 Lebesgue 可积,且积分值相等? f(x) Riemann 可积当且仅当 f(x) 的不连续点全体为零测度集 Riemann Riemann 可积的充要条件可积的充要条件 iii iii iiimM xxxxfm xxxxfM???????????}:)( inf{ }:)( sup{ 1 10 1 ??????????? i ni ixT 1,0,使得分割 i ni iT baxM dxxf???????1 0 || || lim )(dxxfxm ba i ni iT)( lim 1 0 || ||??????? f(x) 在[ a,b] 上 Riemann 可积 Darboux Darboux 上、下积分上、下积分对[ a,b] 作分划序列??,3,2,1 : )()(2 )(1 )(0 )(???????nbxxxxaT nk nnnn n0|| lim }1: max{ || )( )(1 )()( ???????? nn n ni ni nTkixxT}:)( inf{ }:)( sup{ )()(1 )( )()(1 )(ni ni ni ni ni nixxxxfm xxxxfM????????令(对每个 i及n) Darboux Darboux 上积分上积分)( lim )( )(1 )(1 )(ni ni ki nin baxxM dxxf n????????)( lim )( )(1 )(1 )(ni ni ki nin baxxm dxxf n???????? Darboux Darboux 下积分下积分 x i-1 x i 引理:设引理:设 f(x) f(x) 在在[ [ a,b] a,b] 上上为有界函数,记为有界函数,记ωω(x) (x) 为为[ [ a,b] a,b] 上的振幅函数,则上的振幅函数,则 dx xfdx xfdx x ba ba ba)()()( ],[??????故ω(x) 为[ a,b] 上的可测函数,从而 f(x) L可积。证明:由于 f(x) 在[ a,b] 上为有界函数, 故ω(x) 为[ a,b] 上有界函数, })(:{txEx???又对任意实数 t,为闭集, x i-1 x i 0|| lim }1: max{ || )( )(1 )()(???????? nn n ni ni nT kixxT作函数列??,3,2,1,,,3,2,1 0 ),( )( )( )()(1 )()( )(???????????nki Tx xxxmM x n n ni ni ni ni T n的分点是???,3,2,1 : )()(2 )(1 )(0 )( ???????nbxxxxaT nk nnnn n对[ a,b] 作分划序列 x i-1 x i 引理的证明引理的证明引理的证明引理的证明 Ebaxxx mE nTxbaxE nTn n?????????],[ ),()( lim ,0 },),3,2,1(:],[{ )( )(??且则的分点是令?由控制收敛定理可知有则对一切上的上、下确界, 在为令,|)(| ],[)(, )(ABxn baxfBA nT???,)()( lim ],[ ],[ )(????? ba ba T ndx xdx x n??x i-1 x i 引理的证明引理的证明另一方面,)()( lim ],[],[ )(????? ba ba Tndxxdxx n??dx xfdx xf xxm xxM ba ba ni ni ki nin ni ni ki nin n n)()( )( lim )( lim )(1 )(1 )()(1 )(1 )(??????????????????从而结论成立 x i-1 x i) )( ( lim )( lim )(1 )( 1 )()( ],[ )( ni ni ki ni nin Tban xxmM dx x n n ???????????? 1. 1. Riemann Riemann 可积的可积的内在内在刻画刻画定理:有界函数 f(x) 在[ a,b