文档介绍：第一章函数、极限和连续
§ 函数
主要内容
㈠函数的概念
. 函数的定义: (), ∈
定义域: (), 值域: ().
.分段函数:
.隐函数: ()
.反函数: () → φ()()
()
定理:如果函数: (), (), ()
是严格单调增加(或减少)的；
则它必定存在反函数：
(), (), ()
且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡函数的几何特性
.函数的单调性: ()∈、∈
当＜时,若()≤(),则称()在内单调增加( )；
若()≥(),则称()在内单调减少( )；
若()＜(),则称()在内严格单调增加( )；
若()＞(),则称()在内严格单调减少( )。
.函数的奇偶性：()关于原点对称
偶函数：()()
奇函数：()()
.函数的周期性：
周期函数：()(), ∈(∞，∞)
周期：——最小的正数
.函数的有界性： ()≤ , ∈()
㈢基本初等函数
.常数函数：， (为常数)
.幂函数： , (为实数)
.指数函数： , (＞、≠)
.对数函数： ,(＞、≠)
.三角函数： ,
,
,
.反三角函数： ,
,
㈣复合函数和初等函数
复合函数： () , φ()
[φ()] , ∈
.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数。
例题分析
求下列函数的定义域：
⑴
解:对于有: ≠ 解得: ≠±对于有≥ ≥－
∴ 的定义域:
⑵ 解: 由得：，解得:
由得：＞,＜
∴ 的定义域:
()的定义域为（，）
则() 的定义域为
.(), .(), .(), .[] [ ]
解：∵＜＜ ∴ ＜＜
即() 的定义域为: ∈(),应选.
()及()是相同函数的为
. ,
. ，
. ，
. ， [ ]
解：. ，
. ，

应选
. ，
. ，
，
的反函数及其定义域。
解：∵，
∴，
∵在(∞)内，函数是严格单调的
∴反函数：

则其反函数。
解：∵
在..内是严格单调增加的
∴
又∵ ∴取
即：
（应填）

同一区间上的两个偶函数，
则为函数。
解：设
∵

∴是偶函数（应填“偶”）
例. 判断的奇偶性。
解: ∵

∴为奇函数
，
则的周期为。
解法一: 设的周期为,

∴
而
∴ ， ∴
解法二：
∴ (应填)
例. 指出函数那是由些简
单函数复合而成的？
解：令，则
，则
，则
∴是由：，，，复合而成的。
例. 已知,则等于
. , . , . , . [ ]
解: ∵
∴
或（应选）
例. 已知
求的表达式。
解:∵
解得
∴
§ 极限
主要内容
㈠极限的概念
数列的极限:
称数列以常数为极限;
或称数列收敛于.
定理: 若的极限存在必定有界.
.函数的极限：
⑴当时，的极限：

⑵当时，的极限：

左极限：
右极限：
⑶函数极限存的充要条件：
定理：
㈡无穷大量和无穷小量
无穷大量：
称在该变化过程中为无穷大量。
再某个变化过程是指：

无穷小量：
称在该变化过程中为无穷小量。
无穷大量及无穷小量的关系：
定理：
无穷小量的比较：
⑴若,则称β是比α较高阶的无穷小量；
⑵若（为常数），则称β及α同阶的无穷小量；
⑶若，则称β及α是等价的无穷小量，记作：β～α；
⑷若,则称β是比α较低阶的无穷小量。
定