文档介绍：函数、极限和连续
§ 函数
主要内容
㈠函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
:
: F(x,y)= 0
: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)
y=f-1 (x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y
是严格单调增加(或减少)的;
则它必定存在反函数:
y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡函数的几何特性
: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D
当x1<x2时,若f(x1)≤f(x2),
则称f(x)在D内单调增加( );
若f(x1)≥f(x2),
则称f(x)在D内单调减少( );
若f(x1)<f(x2),
则称f(x)在D内严格单调增加( );
若f(x1)>f(x2),
则称f(x)在D内严格单调减少( )。
:D(f)关于原点对称
偶函数:f(-x)=f(x)
奇函数:f(-x)=-f(x)
:
周期函数:f(x+T)=f(x), x∈(-∞,+∞)
周期:T——最小的正数
: |f(x)|≤M , x∈(a,b)
㈢基本初等函数
: y=c , (c为常数)
: y=xn , (n为实数)
: y=ax , (a>0、a≠1)
: y=loga x ,(a>0、a≠1)
: y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x
y=sec x , y=csc x
:y=arcsin x, y=on x
y=arctan x, y=ot x
㈣复合函数和初等函数
: y=f(u) , u=φ(x)
y=f[φ(x)] , x∈X
:
由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数。
例题分析
求下列函数的定义域:
⑴
解:对于有: ≠0 解得: ≠±1
对于有: ≥0 ≥-2
∴的定义域:
⑵
解: 由得: ,解得:
由得: >0 , <2
∴的定义域:
(x)的定义域为(-1,1)
则f(x+1) 的定义域为
A.(-2,0), B.(-1,1), C.(0,2), D.[0,2] [ ]
解:∵-1<x+1<1 ∴-2<x<0
即f(x+1) 的定义域为: x∈(-2,0)
应选A.
(x)与g(x)是相同函数的为
A. ,
B. ,
C. ,
D. , [ ]
解:A. ,
B. ,
应选B
C. ,
D. ,
,
的反函数及其定义域。
解:∵,
∴,
∵在(-3,+∞)内,函数是严格单调的
∴反函数:
则其反函数。
解:∵
在内是严格单调增加的
∴
又∵∴取
即:
(应填)
同一区间上的两个偶函数,
则为函数。
解:设
∵
=
∴是偶函数(应填“偶”)
例7. 判断的奇偶性。
解: ∵
∴为奇函数
,
则的周期为。
解法一: 设的周期为T,
=
∴
而
∴, ∴
解法二:∵
∴(应填)
例9. 指出函数那是由些简
单函数复合而成的?
解:令, 则
, 则
, 则
∴是由:,,,
复合而成的。
例10. 已知,则等于
A. , B. , C. , D. [ ]
解: ∵
∴
或(应选A)
例11. 已知
求的表达式。
解:∵
解得
∴
§ 极限
主要内容
㈠极限的概念
数列的极限:
称数列以常数A为极限;
或称数列收敛于A.
定理: 若的极限存在必定有界.
:
⑴当时,的极限:
⑵当时,的极限:
左极限:
右极限:
⑶函数极限存的充要条件:
定理:
㈡无穷大量和无穷小量
无穷大量:
称在该变化过程中为无穷大量。
X再某个变化过程是指:
无穷小量:
称在该变化过程中为无穷小量。
无穷大量与无穷小量的关系:
定理:
无穷小量的比较:
⑴若,则称β是比α较高阶的无穷小量;
⑵若(c为常数),则称β与α同阶的无穷小量;
⑶若,则称β与α是等价