文档介绍：最优控制原理
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目录(1/1)
目 录
最优控制概述
变分法
变分法在最优控制中的应用
极大值原理
线性二次型最优控制
动态规划与离散系统最优控制
Matlab问题
本章小结
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极大值原理(1/4)
极大值原理
前一节讨论的最优控制问题都基于这样一个基本假定:
控制量u(t)的取值范围U不受任何限制,即控制域U充满整个r维控制空间,或者U是一个开集。
即控制量u(t) 不受等式条件约束
但是,大多数情况下控制量总是受限制的。
例如,控制量可能受如下大小限制
|ui(t)|a i=1,2…,r
式中,a为常数。
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极大值原理(2/4)
上述约束条件即相当于容许控制空间U是一个超方体。
甚至,有些实际控制问题的控制量为某一孤立点集。
例如,继电器控制系统的控制输入限制为
ui(t)=±a i=1,2…,r
一般情况下,总可以将控制量所受的约束用如下不等式来表示
Mi(u(t),t)0, i=1,2,…
当控制变量u(t)受不等式约束条件限制时,古典变分法就无能为力了。
以后,还会看到,最优控制u(t)往往需要在闭集的边界上取值。
这就要求人们去探索新的理论和方法。
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极大值原理(3/4)
应用古典变分法的另一个限制条件是要求函数L(x,u,t), f(x,u,t), S(x(tf),tf)对其自变量的连续可微性,特别是要求H/u存在。
因此,类似
这样的有较大实际意义的性能指标泛函就无能为力了。
所以,类似消耗燃料最小这类常见最优控制就无法用古典变分法来解决。
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极大值原理(4/4)
鉴于古典变分法的应用条件失之过严,引起了不少数学界和控制界学者的关注。
其中,贝尔曼的动态规划和庞特里亚金的极大值原理是较为成功的,应用也很广泛,成为解决最优控制问题的有效工具。
本节主要介绍极大值原理的结论及其启发性证明。
讲授内容为
自由末端的极大值原理
极大值原理的证明
极大值原理的几种具体形式
约束条件的处理
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自由末端的极大值原理(1/8)
自由末端的极大值原理
最优控制问题的具体形式是多种多样的,,3种泛函问题(拉格朗日问题、波尔扎问题和麦耶尔问题)的表达形式可以互相转换。
因此,与前面的方法一致,我们先研究泛函为定常的末值型性能指标的最优控制问题(麦耶尔问题),然后将结论逐步推广至其他最优控制问题。
下面,就定常的末值型性能指标、末态自由的控制问题来叙述极大值原理。
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自由末端的极大值原理(2/8)—定理7-9
定理7-9(极大值原理) 设u(t)U,t[t0,tf],是一容许控制。
指定的末值型性能指标泛函为
J[u(·)]=S(x(tf))
式中,x(t)是定常的被控系统
相应于控制量u(t)的状态轨线,tf为未知的末态时刻。
设使该性能指标泛函极小的最优控制函数为u*(t)、最优状态轨线为x*(t)。
则必存在不恒为零的n维向量函数(t),使得
1) (t)满足规范方程
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自由末端的极大值原理(3/8)
满足
2) 边界条件
的解,其中哈密顿函数为
3)则有哈密顿函数取极小
即
取代H/u=0
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自由末端的极大值原理(4/8)
4) 沿最优轨线哈密顿函数应满足
下面先对上述极大值原理的涵义作简单的解释,
再给出该定理的启发性证明。
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