文档介绍：四、弹性力学平面问题
的有限元分析及程序
四、弹性力学平面问题
的有限元分析及程序
引言
常应变三角形单元
矩形双线性单元
平面问题程序(一)
平面等参数单元
平面问题程序(二)
Wilson 非协调元
杆系问题以结点作为分割单元的“结点”是很自然的,但对于平面问题,待分析物体是连续的,并不存在实际结点。要将物体“拆”成单元,必须用一些假想的线或面作人为地分割。实际计算时,可将连续体分成多种形状单元,为讨论简单,现暂时规定只用一种单元来分割。
平面问题有限单元法可用的单元很多,作为初学,先介绍两种最简单的单元:三角形和矩形。然后再介绍高级些的单元“等参数单元”。
将物体进行分割时,必须保证相邻单元具有公共边界。假定相邻单元仅在一些点(顶点或顶点加边中点)相连接。这些点即为“结点”。
引言
常应变三角形单元
面积坐标
三角形单元中任一点P可用直角坐标(x , y) 表示。
P
2
1
3
y
x
如图所示连P1、 P2、 P3,则可得三个小三角形。它们和大三角形123的面积比,记作Li(= Pjk/ 123),称为面积坐标。
三个面积坐标显然 L1+ L2 + L3= 1,只有两个是独立的。三角形中任一点P的位置可用面积坐标L1、 L2 确定。
当P点在1时L2 = L3= 0, L1= 1。余类推。可见面积坐标具有“形函数”的性质。
常应变三角形单元
位移模式
由于面积坐标有形函数性质,因此根据试凑法可得
P
2
1
3
y
x
形函数= Ni=Li = 面积坐标
1) 面积坐标和直角坐标关系
如果结点 i 位移为ui、vi,则单元位移模式(位移场)为
u= Niui ; v= Nivi
常应变三角形单元
2) 矩阵表达
P
2
1
3
y
x
常应变三角形单元
单元列式
1) 微分算子矩阵
2) 应变、应力矩阵
平面应力问题
式中
平面应变时
常应变三角形单元
由此可见,单元应变、应力都是常量。
当所分析的问题具有初应变时,单元的弹性应变为[e]=[]-[ 0],应力为[]=[D][e]。
3) 单元应变能
将上述应变、应力代入
4) 单元外力势能
第一项体积力、第二项结点力、第三项表面力的外力势。
代入位移后,经整理可得
常应变三角形单元
5) 令总势能一阶变分等于零,推导单元刚度方程
当有初应变时推导结果如何?
6) 单元刚度矩阵、等效荷载矩阵
当有初应变时结果如何?
具体显式表达式见教材P。47 式(3,2-39)
常应变三角形单元
7) 关于等效结点荷载
等效结点荷载可用公式积分计算,但由于形函数的图形是一平面(边界处为一直线),因此可证明也可按杠杆原理通过静力等效来求。
如图3-4所示。
解答的收敛性准则
1) 位移模式(也称位移函数)必须包含刚体位移。
2) 位移模式必须包含常应变位移。
3) 位移模式必须保证单元间位移协调。
1)、2) 对平面问题也即要求具有常数项和坐标一次项,这称作“完备性准则”。
3) 称作“协调性准则”。既完备又协调的单元一定是收敛的。但不等于说非协调单元一定不收敛。