文档介绍：古为今用的几个几何问题
从华罗庚的文章想起
华罗庚在《光明日报》写了一篇有关1978年八省市数学竞赛的感受文章， 他提到在“四人帮”对中等教育的破坏下，出题老师们在出题时的为难。
文章写道：“一些地区中学教材已经用'三机一泵'代替了物理，用'农药、土 壤、化肥'代替了化学，用'会计、测量、看图,代替了数学。系统被破坏了，基础被削弱 To所谓'实用’的东西充斥到教材中来，复数不讲了。方程 "+1=0
称为无解答方程了。把认识退回到方程刚出现的古代史阶段。人是生活在立体空间之中 的，但是，在一些地区的教材中，立体几何学只剩下了求球体积、球表面 积的几个简单公 式。辩证思维中本来是包括逻辑推导的，但是逻辑推导的数学削弱了，给个公式你会代 进去算岀解答就算了事。数学归纳法、反证法、排列组合、二项式定理竟在一些地区的 中学教材中被砍掉了。”
对于一些在海外从事数学教育工作者，看到这样的消息，相信许多人会吓一跳。如 果课程内容不加强，年青一代掌握不好数学工具，要想进入科学宝库取宝，将只能望门 兴叹，劳而无功，想要加快“利技现代化”的速度也将会阻力重重。
我想起那位曾经对东方文物感兴趣的法国一代英雄拿破仑。许多人知道他讲 过的一 句话：“中国，让它睡吧！当它醒来的时候，全世界将要震动。”他本身 对数学非常重 视，在他夺取法国革命果实称帝后即任命一些优秀数学工作者如蒙日(G・Monge1746・ 1818)以及拉普拉斯(卩5丄aplace )抓好数学教育工作，他曾说：“一个国家只有数学蓬 勃发展，才能表现它的国力强大。”
为了打仗的需要，拿破仑很重视几何。对于许多上了年纪有学过几何的人，会知道这 是一门有趣的数学。几何证明的多样性，讲究证明的严密，以及定理的一些美丽关系是 多么引人入胜，在训练人们逻辑思维这是一门极好的学科。
几何是数学的一个古老分支，还在几千年前的劳动人民在长年累月垦地，建河堤、 运河、筑神庙、宫殿、筑墓等及衡量收成品时逐渐累积对几何形体的知识。
这些知识后来经过一些数学家整理并严密安排发展成一门重要的数学。很可惜的是 近年欧美推行中学数学教育改革，把平面几何的多姿多彩的内容削减许多，以较为抽象的 线性代数取代。而国内的教材却因“四人帮”的讲“实用”而删掉许多内容，使学生在推 理的训练减少许多，这种情形看来是需要改变。
几何实用问题的提出
对于一些很注意数学的“实用”的人，我这里提出三个都是很实际的问题， 然后介绍一些解法，可以看到几何怎么样能为我们服务。
▲在河边有两个村庄，一个距河2华里，另外一个是10华里，而这两村相 距18 华里。人们想在河边建一个码头，一方面可以输出农产品，另外可以送来 农村需要的肥
料、机械和生活物资。人们计划从码头到农村的道路上铺沥青石子 路，为了不要花太多 人力物力及时间，要怎样选择建码头的地点才能“好省”地做好？
▲地质勘察队来到一个山区的乡下，这里有三户人家，以往吃水种田都需走 下山脚 挑水上山，这是很费时费力辛苦的工作。勘察队发现事实上在三家所围成的三角形的土 地上，同样的深度都能打出地下水来。
现在人们准备挖一口井，你要怎么样选择开井的地点，使到人们走到井的路程是最 短？
▲为了使农村的文化水平提高，平原区的四个农村准备合建一间中学，解决小学生 毕业的升学问题。如果你去观察这地区，发现 A村有100个毕业生，B村
有120个毕业生，C村有200个毕业生，而D村有84个毕业生。要怎么样适当 选择地点 建中学，使到学生到学校所花的时间最少？
事实上，这些问题属于几何问题，早在200-300年前就有人研究了。
意大利数学家的一篇论文
在1779年意大利数学家法拉诺( Fag nano 1715-179刀在一篇论文 里讨论 了底下的几个问题：
在一条线的同一边有两点P、Q,如何在此线上找一点T,使得PT+TQ的长最 小？
在一个锐角三角形ABC的三边取X, 丫，Z三点，使得△ XYZ的周长是 最 短。
在三角形ABC内找一点P,使其到三个顶点的距离和是最小。
在四边形ABCD内找一点P,使其到四个顶点的距离和是最小。
第一个问题法国数学家费马(P. Fermat 1 60 1 - 1 665)曾研究过。他想像直 线L 是一面镜子，Q是镜子里Q的像。直线L上的任何点到Q Q的距离是一样，因此T在L 上PT+TC要求最小，必须是PT+TQ最小。如果T不在PQ的联线上，则在△ PTQ 中，PT+TQAPQ(因为在△中，两边之和大于第三边)。
因此如要PT+TC最小，T需取在PQ和L的交点。(图一)
Qi
團一
这时候/a =Zp
如果你想像光从P点出发，经过镜子反射后到Q,的路 费马发现它总是选择最短 程前进。而这时