文档介绍：第四章
大学数学
(二)
脚本编写:曾金平刘楚中
课件制作:曾金平刘楚中
线性方程组
§1 线性方程组的Gauss消元法
本节讨论线性方程
a11x1
+ a12x2
+ …+ a1nxn
=b1,
a21x1
+ a22x2
+ …+ a2nxn
=b2,
as1x1
+ as2x2
+ …+ asnxn
=bs
的消元法.
()
………………
先看例子
解方程组:
2x1x2+3x3=1,
4x1+2x2+5x3=4,
2x1 +2x3=6.
解:第二个方程减去第一个方程的2倍,第三个方程减去第一个方程,得
2x1 x2 + 3x3=1,
4
x2

x3
=2,
x2

x3
=5;
同解方程组
交换第二、三个方程
2x1x2+3x3=1,
x2  x3=5,
4x2  x3=2;
第三个方程减去第二个方程的4倍
2x1x2+3x3= 1,
x2  x3= 5,
= 18;
3
x3
第三个方程乘以
2x1x2+3x3= 1,
x2  x3= 5,
x3= 6;
第二个方程加第三个方程
2x1x2+3x3= 1,
x2 =  1,
x3= 6;
第一个方程加第二个方程再减第三个方程的3倍
2x1 = 18,
x2 =  1,
x3= 6;
第一个方程乘以
x1 = 9,
x2 =  1,
x3 = 6.
2x1x2+3x3= 1,
x2 =  1,
x3= 6;
在上述求解过程中,不难看出,我们实际上反复对方程组进行如下三个基本变换:
1. 用一非零数乘某一方程,
2. 把一个方程的倍数加到另一个方程,
3. 互换两个方程的位置.
上述三种变换称为线性方程组的初等变换.
方程组经初等变换变成同解方程组.
下面考虑一般线性方程组():
先检查 x1 的系数,
如果全为零,
则() 对 x1 没有
限制.
x1 可任意取值. 即() 可看作 x2, x3, …, xn 的 n1 元线性方程组.
否则, x1的系数不全为零,
则可用初等变换3,
使() 变成第一个方程中 x1 系
数不为零的同解方程组.
故可不妨令a110.
利用变换2.
将第 i 个方程加上第一个方程的
于是()变为
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,
a’22 x2+…+a’2nxn=b’2 ,

a’s2 x2+…+a’snxn=b’s.
()
其中 a’ij=aij
+a1j
= aijai1 a1j /a11,
b’i=bi
+b1
= biai1 b1/a11.
因此解方程组() 就归结于解n1元方程组
a'22x2+…+a'2nxn=b'2

a's2x2+…+a'snxn=b's
()
也即() 有解
再对() 作类似变换,易知,最后方程组变成同解的阶梯形方程组,为方便起见,不妨设所得方程组为


() 有解
() 有解.