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文档介绍：第四篇非线性方程和积分方程
第一章非线性方程
到此为止我们已经学习了有关解二阶线性偏微分方程
的各种解法。我们已看到这些解法都是以线性迭加原理为
基础的(分离变量法的解是求和,可数个的迭加;而行波
法、格林函数法、积分变换法的解是积分,不可数的连续
的累加)因此这些解法对于求解非线性方程显然不够用。
然而力学和许多物理问题就其本来面貌而言
都是非线性,线性化只是它的初步近似,虽然具
有重要的理论和实践价值,但许多物理现象如果
不考虑非线性效应就无法加以解释。如近年来涉
及物理学许多领域的孤立子效应所满足的就是非
线性方程;激光物理、等离子体物理中的湍流、
混沌等现象也满足非线性方程。
除了一阶偏微分方程以外,非线性方程能够
求精确解通常局限于下面两种情况
1、非线性偏微方程具有相似解或行波解
ìu = u(ξ)
即解依赖于自变量的幂次组合如令
í αβ
îξ= x t
和线性组合(如令 u = u(ξ),ξ= x+ at)
从而减少自变量的个数,
从而使求解的难度大为降低
2、对若干类似线性方程或方程组,已发展了某些
自变量和未知函数的一些变换(如Kirchhoff变
换、cole – Hopf变换、端迹变换等)
从而将非线性偏微分方程化为线性偏微分方程求解。
下面介绍几种常用的初等解法