文档介绍：第二章第二章积积分习分习题课题课
(z)在区域σ内解析,σ= σ+ L上连续,则
ì f (z)dz = 0, L = l
ïòl
f (z)dz = 0 í n n
òL
f (z)dz = f (z)dz, L = l + lk
ïòl åòl å
î k=1 k k =1
ì 1 f (ξ)
f (z) = dξ, L = l
1 f (ξ) ï 2πi òl ξ­ z
f (z) = dξí n n
òL 1 f (ξ) f (ξ)
2πi ξ­ z ï f (z) = [ dξ+ dξ], L = l + l
òl åòl å k
îï 2πi ξ­ z k=1 k ξ­ z k=1
n! f (ξ)
f (n) (z) = dξ
2πi òL (ξ­ z)n+1
模数原理科西不等式
平均值定理刘维定理
可用来计算复变函数的围道积分
其步骤:
(1)判断被积函数有无奇点有何奇点
(2)判断围道内有无奇点有何其点
(3)适当选择公式
ì | f (z) || dz |
二. | f (z)dz |£ òl
òl í
îM × S
二复线积分的计算方法:
1由定义计算
n
f(z)dz=Dlimfz()ξkk不常用
òl n®¥ å
max||0D®z k=1
:
f()zdz=udx­vdy++ivdxudy
òlòòll
2++ii21
Imzdz=y(dx+idy)=y(2dy+idy)(x=®2yy,:01)
ò0òò00∵
y21
=(2+ii)|11=+
220
3、由参数积分法做:
02®+i的直线的参数为方程:
ìxt=
ï
í t ,02££t
y=
îï 2
tt
\z=t+=iI,
22mz
22+i α tt1i
\òIdz=òòd(t+i)=+(1)tdt
0mz 002222
1
=+1i
2
,可用Newton-lebniz公式算。
例:òlsin,zdz
若用实积分做,注意到:
sinz=+sinxchyicos xshy
cosz=cosxchy-isin xshy
∴(1) sinzdz=(sinxchy++icosxshy)()dxidy
òòll11
yx=
1
= ò0(sinxchx++icosxshx)()dxidx
11
=òò00(sinxchx-cosxchx)dx++i(cosxshxsin)xchxdx
=+-1chxdcosx-1cosxdxiéù11shxdsin-xchxdx
ò0ò0ëûòò00
11
=+1-ch|cos|òò00cosxdchx-cos xshxdx
++iéùsh|sin|-11sinxdshxsin xchxdx
ëûòò00
=+1-cos|ch|ish |sin|
类似可得:sinzdz=+1-cos|ch|isin||sh ,麻烦。
òl2
但若用NL-公式:
1+i 1+i
òòlsinzdz=0 sinzdz=-coszi|0 =+1-cos(1)
由*
=1-cos|ch|+isin||sh
:
|òòllf(z)dz|£ |f(z)|||dz
|òlf(z)dz|£×max|f()zS
:
i22
(1)证:|ò-i(x+£iy)dz |
i2222
证明:|òò-i(x+iy)dz|£+c ||xiyds
42
=+òcxyds
22222
=+òc(xy)-2xyds
而(x2+y2)2-2x2y2£(x2+yz2)22=£||1
\£|| òcds = 2
同可样证(2)
四、复围道积计分的算方法:
1、若f()z在σσ内解析边界l上连续,、abÎ,则:
(1)f(z)dz=0.(Cauchy定理)
Ñòl
fz()
(2)òdz=2πif(a).(Cauchy定理)
Ñl za-
f(zi)2π
(3)òdz=fa()n ().(导数公式)
Ñ()l z-ann (-1)!
f(z)f(z)fz()
(4)òdz=+òòdzdz
Ñl(z-a)n(-zb)ÑÑllab(z-a)nn(-zb)(z-a)(-)zb
fz() fz()
n-1
zb- ()za- n2πidéùf(z)fz()
=òòdz