文档介绍：§ 纯强迫振动
一、定解问题
2
ìutt = a uxx + f (x,t) <1 >
ï
íu |t=0 = 0 < 2 >
ï < 3 >
îut |t=0 = 0
二、求解
1、解题分析
若将方程中的非齐次项消掉,即可利用
达朗贝尔公式得到此定解问题的解。
故,我们引入冲量原理
注:迭加原理
2、冲量原理
根据迭加原理,<1>式之中的持续力f(x,t)所引起
的振动视为一系列前后相继的瞬时力引起振动的迭
加,即:
t
u ( x, t ) = lim å w( x, t;τ)
Dτ® 0 τ= 0
则,瞬时力所引起的振动的定解问题为:
2
ìwtt ­ a wxx = 0 τ< t < τ+ Dτ
ï
íw |t=τ= 0
ï
îwt |t=τ= f (x,τ)Dτ
设: w(x,t;τ) = v(x,t;τ)Dτ
2
ìvtt ­ a vxx = 0 < 4 >
ï
ív |t=τ= 0 < 5 >
ï < 6 >
îvt |t=τ= f (x,τ)
可以看出,求解定解问题<1>---<3>即为求解定解问题
<4>--<6>,而:
t
u ( x, t) = lim å w(x, t;τ)
Dτ® 0 τ= 0
t
= lim å v( x, t;τ)Dτ
Dτ® 0 τ= 0
t
即: u( x, t) = v(x, t;τ)dτ<7>
ò0
以上用瞬时冲量的迭加解决持续作用力来解决
定解问题<1>--<3>的方法,称为冲量原理。
3、纯强迫振动的解
对于定解问题<4>--<6>,令:
T = t ­ τ
2
ìvTT ­ a vxx = 0
ï
则: ív |T =0 = 0
ï
îvT |T =0 = f (t,τ)
故,又达朗贝尔公式:
1 x+aT
v(x,t;τ) = f (α,τ)dα
2a òx­aT
1 x+a(t­τ)
= f (α,τ)dα
2a òx­a(t­τ)
由式<7>,可得:
1 t x+aT
u(x,t) = f (α,τ)dαdυ
2a òò0 x­aT
此即是纯强迫振动的解。
四、例题
ìu tt = u xx + x
ï
求解初值问题: íu(x,0) = 0
ï
îu t (x,0) = 0
解:由式<8>可得:
1 t x+(t­τ)
u(x,t)= αdα
2òò0 x­(t­τ)
1 t
= {[ x+(t­τ)]2­[x­(t­τ)]2}dα
4ò0
1
= xt 2
2
五、小结
1、对于纯强迫振动
(1) 应先将有源问题按冲量原理化解;
(2) 利用迭加原理求解。
2、对于一般强迫振动
2
ìu tt = a u xx + f (x, t)
ï
íu |t =0 = ϕ(x)
ï
îu t |t =0 = ψ(x)
由于泛定方程和定解条件是线性的,故利用迭加
原理,令:
u = u I + u II
并分别使:
ì I 2 I
u tt ­ a u xx = 0 < 9 >
I ï I
u = íu |t =0 = ϕ(x) < 10 >
ï I < 11 >
îïu t |t =0 = ψ(x)
II 2 II
ìutt ­ a u xx = f (x, t) < 12 >
II ï II
u = íu |t =0 = 0 < 13 >
ï II < 14 >
îïut |t =0 = 0
故求一般强迫振动定解问题,只需求解以上定解条
件<9>---<14>即可
(1)用达朗贝尔公式给出定解问题<9>---<11>的解;
(2)用纯强迫振动的解给出定解问题<12>---<14>的解: