文档介绍：§
一、泰勒定理
T级数和解析函数的关系
∞
a(z− b)kz−b< R→解析函数 f()z
∑ k ←
k= 0 f()k()b
(唯一) ak=
k!
三、收敛半径
R = a − b , a − f (z )的距 b 最近的奇点
三、如何展开
1、用定理展
2、用各种手段展开
z
例: f ()z = 在点 z = ±1展开为 T 级数
z + 2
1o 奇点? 2o 展开方式? 3o 收敛半径?
z
解: z = −2是 f ()z = 的唯一奇点, 故可在
∵ z + 2
z − 1 < − 2 − 1 = 3内时在 z = 1展开。
展开后的形式为
∞
k
f()z=∑ak(z−1)
k=0
z (z−1)+1 z−1 1
f()z= = = +
z+2 (z−1)+3 (z−1)+3 (z−1)+3
1 1 1
=(z−1)⋅+
(z−1) 3 z−1
31+ 1+
 3 û 3
∞ k ∞ k
(z−1) kz−1 1 kz−1
= ∑(−1)+ ∑(−1)
3 k=0  3  3k=0  3 
∞ k+1 ∞ k
kz−1(−1) k
=∑(−1)+∑ k+1(z−1)
k=0  3  k=03
四、多值函数在里曼面上或确立单值分支之后,
可作泰勒展开泰勒展开
(z +1)的主值支ln(1+ z)在z = 0展开成T级数
解:∵ z = −1,∞为Ln(1 + z)的支点
所以将复平面沿负实轴从z = -1至z = ∞作割线割破后
Ln(1+ z)在这割破的复平面上便可分出单值支
∵主值支ln(1+ z)在z < 1时解析,故可进行T展开
设f (z) = ln(1+ z)
1 −1
则f′()z= ,f′′()z=
(1+ z) (1+z)2…
(−1)k−1(k−1)!
f()k()z = , k=1,2,
(1+z)k …
f()k(0) (−1)k−1
∴a = = , k=1,2,
k k! k …
而f(0)=0
∞(− 1)k −1
ln (1 + z )= ∑ z k z < 1(公式)
k =1 k
(z +1)α= eαLn(1+z )的一支eαLn(1+z )在点
z =0展开成T级数
解:支点为 z=0,−1
从 z = 0, 到 z = -1将复平面割开可得到单值支
α ln (1+ z )
∵ e 在 z < 1中解析∴可展开为 T级数
设: g (z ) = e α ln (1+ z ), ln (1 + z ) = f (z )
则: g (z ) = e α f (z )
g ′(z ) = e αf (z ) ⋅α f ′(z )
1 1 1
而 f ′()z = = =
1 + z e ln (1+ z ) e f ()z
∴ g ′(z ) = α e (α−1 ) f (z )
L
(k ) (α− k ) f