文档介绍：§ Poisson方程的边值问题
Piosson方程的边值问题均可表示为
∆u = −h(M ) , M ∈t (1)
∂u
α+ βu= g (M ) (2)
∂n σ
其中当α= 0,为狄氏函数;β= 0为Neumen问题;
α≠,β≠ 0为混合问题,为用格林函数法求解这
类问题需要先导出它们的积分公式,为导出
它们的积分公式需先引入导出积分的工具
−−格林公式
一、格林公式
1、为何引入格林公式
(1)积分公式:所谓积分公式即解的积分表达式
du
若: = f (x) → y = f (x)dx
dx ∫
∂u ∂u
du = dx+ dy = f (x, y)
∂x ∂y
则u(x, y) = ∫∫ f (x, y)dxdy
挂上积分号将未知函数从微分号下解脱出来,
若不能直接积分,分部积分可使问题向前推
进一步
dy
如: = ex cos x
dx
则
y(x) = ∫ex cosxdx=∫cosxdex
= cosxex + ∫ex sin xdx
= cosxex +sin xex −∫ex cosxdx
x 1
∴ e cosxdx = [cosxex +sinex ]
∫ 2
(2) 我们要求解的三类数理方程中均含有∆
格林公式是将未知函数, 从微分算符∆下
解脱出来的工具.
∂2v ∂2v ∂2
即∆v(x,y,z)= + +
∂x2 ∂y2 ∂z2
对于∆v = −h (M), 如何得 v (M)?
于是自然想到由
u∆vdt 导出格林公式
∫t
2. 格林第一公式
设u(x, y, z)和v(x, y, z)在t中具有连续的二阶
−
导数在t 上具有连续一阶导数
则: u∆vdt = ∇⋅(u∇v)dt −∇u ⋅∇vdt
∫∫t ∫t
= u∇v⋅dσr −∇u ⋅∇vdt
∫σ∫t
∴ u∆vdt + ∇u ⋅∇vdt
∫t ∫t
= u∇v ⋅ dσr
∫σ
∂v
= u dσ(3)
∫σ∂n
∂u
同样: v∆udt + ∇u ⋅∇vdt = v dσ(4)
∫t ∫t ∫σ∂n
3、格林第二公式
∂v ∂u
u∆vdt − v∆udt = (u −v )dσ(5)
∫t ∫t ∫σ∂n ∂n
∂v ∂u
意义:(1)将u,v,∆u,∆v的点与u,v, , 的边
∂n ∂n
∂u ∂v
值联系起来这意味着若知u,v, , 的边值
∂n ∂n
就有可能求得∆u = −h或∆v = −h的值
(2)u,v对称
(3)利用上式显然不足以解∆u = −h(M ), 因为方程中
含有两个未知函数 u、v。若u、v中已知一个,
如已知 v, ∆v = 0,则由上述格林公式,
就有可能求得∆ u = −h (M ) 的解。
为此我们引入点源函数 G(M , M 0 )因为
若G易求(后面我们专门会讲 G的求法)则
对u(x, y, z)和G(c, y, z)使用 Green 第二公式
就有可能导出求 Poisson 方程的边值问题
的解
二、积分公式---格林函数法
1. 泊松方程的基本积分公式
在t中引入 G(M , M 0 )使它满足
∆G = −δ(M − M 0 ) , M ∈t (6)
即点源产生的场
1
M ∈t ,则由( ~ )有G =
0 4πr
2 2 2
r = (x − x0 ) ( y − y0 ) (z − z0 )