文档介绍：§
一、泊松格林函数
1、三维泊松方程的基本解
对于∆G = −δ(M − M 0 ) M ∈t (1)
1 ∂∂G
注意到∆G = (r 2 )
r 2 ∂r ∂r
1 ∂∂G 1 ∂2G
+ (sin θ) +
r 2 sinθ∂θ∂r r 2 sin θ∂ϕ 2
由于是点源产生场故问题是球对称的
1 d dG
故原定解问题→(r 2 ) = δ(r)
r 2 dr dr
→
2 2 2
r = MM 0 = (x − x0 ) + ( y − y0 ) + (z − z0 )
(1)若r ≠ 0 即M ≠ M 0
1 d dG
则(r 2 ) = 0
r 2 dr dr
d 2 dG 2 dG C1
于是(r ) = 0 → r = C1 →dG = dr
dr dr dr r2 û
1
→ G = −C + C 取C = 0
1 r 2 2
1
仍为方程的解 G = −C
1 r
(2)若r = 0,则应考虑以 M 0为中心任意小ε为半径
的球体中情况
由(1), ∆Gdxdydz
∫∫∫t
= −δ(x − x0 , y − y0 , z − z0 )dxdydz
∫∫∫t
ε
= −1
即 lim ∆Gdxdydz = −1 (2)
ε→0 ∫∫∫
t ε
又当ε≠ 0时∫∫∫∆Gdv = ∫∫∫∇⋅∇Gdv
t ε t ε
∂G
= ∇Gdσ= dσ
∫∫∫∫∂r
σεσε
1
= C dσ
∫∫ 1 2
σεε
2ππ
C
= 1ε 2sin dθdϕ
∫∫ε 2
00
=C14π
对此式两边取极限:
lim ∆Gdv = C14π
ε→0 ∫∫∫
t ε
1
代入(2)C 4π= −1 C = −
1 1 4π
1
1、2可得(1)的解为: G(M , M ) =
0 4πr
2、二维泊松方程的基本解
对于∆G(M ,M 0 ) = −δ(x − x0, y − y0)
用类似于上面的讨论过程,并利用二维散度
定理
∇⋅∇udσ= ∇udl
∫∫σ∫l
1 1
可得: G(M ,M ) = ln
0 2π r
1 1 1
和 ln 分别称作三维和二维泊松方程
4πr 2π r
的基本解
二、狄氏格林函数
∆G = −δ(x − x0, y − y0, z − z0) ,M ∈t
1、三维
G |σ= 0
思路
:∵∆G =−δ(x−x0, y− y0,z−z0 ),M∈t
我们已求得
故希望将现在的定解问题看成两部分迭加,有
意识使其中一部分为前面讨论过的
令G(M , M0) = F(M , M0) + g(M ,M0)
使∆F(M , M0) = −δ(M − M0)
∆g = 0
则
g |σ= −F |σ
1
而由前面可知: F =
4πr
1
∴G(M ,M ) = + g 狄氏格林函数
0 4πr
∆g = 0
1
g |σ= −|σ
4πr
2、二维
∆G = −δ(x − x0 , y − y0 )
对于
G |l = 0
1 1
类似 G = ln + g
2π r
∆g = 0
1 1
g | = − ln |
σ 2π r σ
3、狄氏格林函数的物理意义
+ ε0
M
M 0
σ 1 ε0 1
ε0产生: =
4πε0 r 4πr
G − M点电位∆v = 0,σ(大)
感应电荷产生v :
1
v |σ= −|σ
4πr
∴v = g
由此可见:求狄氏G →求M点电位
→感应电荷产生电位