文档介绍：§
由于留数定理是对在l内除有有限个
孤立奇点外单值解析的函数适用。
故用留数计算多值函数积分时,
必须首先划出单值区域,
再对每一单值区域计算积分:
α
∞ x − 1
一、 dx , (0 < α< 1)
∫0 1 + x
zα−1 1
f ()z = zα−1 = ,0< α<1
1+ z z1−α
∴ f (z )的支点: 0, ∞; 奇点: z = − 1
0 →∞沿正实轴作割线,划出单值区域
cR
c
εε R
i0 α−1 α−1
R
(xe ) i0 z
则 i 0 d(xe )+ dz
∫ε e ∫c
1+ x R 1+ z
ⅠⅡ
i 2p α−1 α−1
ε
(xe ) i 2p z
+ i 2 p d xe + dz = 2p ires [f ()z ,−1]
e ( )
∫R ∫cε 1 + z
1 + x Ⅴ
ⅢⅣ
R →∞α−1
∞ x
当时Ⅰ= dx
ε→ 0 ∫0 1 + x
α−1 i 2p (α−1 )
∞ x e
Ⅲ= − dx
∫0 1 + x
z α−1 R α−1 2p R α
Ⅱ≤ dz ≤⋅ 2p R = R→∞→ 0
∫c R 1 + z R − 1 R − 1
z α−1 εα−1 2pεα
Ⅳ≤ dz ≤⋅2pR = ε→→0 0
∫cε 1 +z 1 −ε 1 −ε
α−1
z (α−1 )p i − a p i
Ⅴ= lim (z + 1)⋅= e =