文档介绍：第八单元全概率公式
一、学习目标
通过本节课的学习,知道全概率公式是加法公式和乘法公式的综合,是概率论中的重要公式,要求会用它计算有关的概率问题.
二、内容讲解
全概率公式
全概率公式也是概率论的重要公式之一. 它是概率加法公式和乘法公式的综合应用. 在引入全概率公式之前,先看一个例子.
例设有5个乒乓球(3个新的,2个旧的),每次取一个,无放回地取两次,求第2次取到新球的概率.
解  设A={第1次取到新球},B={第2次取到新球}
这是求事件B的概率问题. 事件B指的是:“任取一球,不放回,再任取一球,第2次取到新球”.这样做了n次试验,
第2次取到新球有m,频率的稳定值就是第2次取到新球的概率.  因为与是容易求的,所以我们可以借助于它们来求P(B).
由于B=BU=B(A+)(*)
且BA与B互不相容,则有
再用概率乘法公式,得到
=
注意:(1)这不是求条件概率P(B½A)及P(B½)的问题.
(2)从形式看,分解式(*)将事件B复杂化了,实质上是(*)式将复杂的事件B分解成简单的易求的事件了. 它起了转移难点的作用.
从引例看到,当求一个事件B的概率较困难时,而求条件概率比较容易,可先将事件B分解成几个互不相容的事件的和,再利用概率加法公式和乘法公式求之. 将这个做法一般化,即得
定理(全概率公式)  如果事件A1,A2,…,An满足
(1) A1,A2,…,An互不相容,而且P(Ak)>0(k=1,2,…,n);
(2) A1+A2+…+An=U(完全性),
则对任一事件B都有
问题思考:抓阄与前后顺序有关吗?
,有二个人抓五个阄,其中二个”“有”,三个“无”. 那么第一个人抓到“有”的概率显然是. 而第二个人抓到“有”记作B,第一个人抓到“有”记作A. 显然有B=BA+B
用全概率公式,有P(B)=P(BA+B)=P(BA)+P(B)
=P(A)P(B½A)+P()P(B½)=
可见,:为什么有人总认为“后抓吃亏呢”,是因为实际生活中的抓阄,往往是第一个人抓后,马上就宣布结果:“有”(特别是真的抓到时),显然第二个人抓到的概率变小了. 但是若第一个人没抓到,第二个人抓到的概率不就是大了吗!计算他们抓到的概率应该是一样的.
三、例题讲解
例题:某市统计局三名统计员分别登录100张农业经济调查表. 甲登录了38张,乙登录了40张,丙登录了22张. 根据以往经验,甲出错的概率是1%, %,%. 统计局长从三人登录的调查表中随机抽选一张表,试问:
(1)该张表有错误的概率是多少?
(2)假如发现这张表有错误,试问该张表是甲登录的概率是多少?
解:(1)设B=“随机抽选一张表发现有错误”,A1,A2,A3分别表示甲,乙,丙登录的表格,则有P(A1)=     P(A2)=     P(A3)=  
抽到有错误的表,即事件B出现. 有错误的表可能是甲登录的,即
甲登录的有错误的表,此时的概率是P(B½A1)=甲出错的概率=
有错的表也可能是乙登录的,此时的概率是P(B½A2)=乙出错的概率=
若有错的表格是丙登录的,则有P(B½A3)=丙出错的概率