文档介绍：第十节
一、最值定理
二、介值定理
*三、一致连续性
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闭区间上连续函数的性质
第一章
注意: 若函数在开区间上连续,
结论不一定成立.
一、最值定理

即: 设
则
使
值和最小值.
或在闭区间内有间断
在该区间上一定有最大
(证明略)
点,
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例如,
无最大值和最小值
也无最大值和最小值
又如,
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推论.
由定理 1 可知有
证: 设
上有界.
二、介值定理
定理2. ( 零点定理)
至少有一点
且
使
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( 证明略)
在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
定理3. ( 介值定理)
设
且
则对 A 与 B 之间的任一数 C ,
一点
证: 作辅助函数
则
且
故由零点定理知, 至少有一点
使
即
推论:
使
至少有
在闭区间上的连续函数
必取得介于最小值与最
大值之间的任何值.
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例1. 证明方程
一个根.
证: 显然
又
故据零点定理, 至少存在一点
使
即
说明:
内必有方程的根;
取
的中点
内必有方程的根;
可用此法求近似根.
二分法
在区间
内至少有
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则
则
上连续, 且恒为正,
例2. 设
在
对任意的
必存在一点
证:
使
令
, 则
使
故由零点定理知, 存在
即
当
时,
取
或
, 则有
证明:
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*三. 一致连续性
已知函数
在区间 I 上连续,
即:
一般情形,
就引出
了一致连续的概念.
定义:
对任意的
都有
在 I 上一致连续.
显然:
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例如,
但不一致连续.
因为
取点
则
可以任意小
但
这说明
在( 0 , 1 ] 上不一致连续.
定理.
上一致连续.
(证明略)
思考: P73 题 6
提示:
设
存在,
作辅助函数
显然
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内容小结
在
上达到最大值与最小值;
上可取最大与最小值之间的任何值;
4. 当
时,
使
必存在
上有界;
在
在
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