文档介绍：二、函数的间断点
一、函数连续性的定义
第八节
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函数的连续性与间断点
第一章
可见, 函数
在点
一、函数连续性的定义
定义:
在
的某邻域内有定义,
则称函数
(1)
在点
即
(2) 极限
(3)
设函数
连续必须具备下列条件:
存在;
且
有定义,
存在;
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continue
若
在某区间上每一点都连续,
则称它在该区间上
连续,
或称它为该区间上的连续函数.
例如,
在
上连续.
( 有理整函数)
又如, 有理分式函数
在其定义域内连续.
在闭区间
上的连续函数的集合记作
只要
都有
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对自变量的增量
有函数的增量
左连续
右连续
当
时, 有
函数
在点
连续有下列等价命题:
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例. 证明函数
在
内连续.
证:
即
这说明
在
内连续.
同样可证: 函数
在
内连续.
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在
在
二、函数的间断点
(1) 函数
(2) 函数
不存在;
(3) 函数
存在,
但
不连续:
设
在点
的某去心邻域内有定义,
则下列情形
这样的点
之一函数 f (x) 在点
虽有定义, 但
虽有定义, 且
称为间断点.
在
无定义;
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间断点分类:
第一类间断点:
及
均存在,
若
称
若
称
第二类间断点:
及
中至少一个不存在,
称
若其中有一个为振荡,
称
若其中有一个为
为可去间断点.
为跳跃间断点.
为无穷间断点.
为振荡间断点.
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为其无穷间断点.
为其振荡间断点.
为可去间断点.
例如:
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显然
为其可去间断点.
(4)
(5)
为其跳跃间断点.
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内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点
跳跃间断点
左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
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