文档介绍：
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假设函数y=f(x)是在[a,b]上有一定光滑性的函数,在xo…xn上有n+1个异点,f(x)在这些点上取值yo…...(x)在上面n+1个点上满足p(xi)=yi i=0,1,…,,如果除了知道f(x)在插值基点上的取值外,还知道f(x)在插值基点上的其他描述(如知道f(x)在插值基点上的导数值)。如何来构造插值函数呢?
Hermite插值也叫带指定微商值的插值,它要构造一个插值函数,不但在给定节点上取函数值,而且取已知微商值,使插值函数和被插函数的密和程度更好。
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f(x) 在区间[ a, b] 上 n+1个互异节点a=x0<x1<x2<……<xn=b , 定义在[a,b]上函数f(x) 在节点上满足
f(xi) = yi
f’(xi)=y ' i i=0,1,2……n
求一个次数不高于2n+1次的插值多项式H(x)满足2n+2个条件
H(xi) = yi
H '(xi)= y ' i i=0,1,2……n
若H(x)存在,则叫函数f(x) H(x)是一个次数不高于2n+1次的多项式,常记为H2n+1(x).
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定理一:满足插值条件
H(xi)= yi
H'(xi)= y'i i=0,1,2……n
且次数不大于2n+1的多项式是唯一的。
证明:令p(x)和q(x)是两个次数不高于2n+1的多项式且在插值基点都满足以上插值条件,即:
p(xi)=q(xi)=yi , p'(xi)=q'(xi)=y' i , i=0,1,2……n
令 F(x)=p(x)-q(x),有F(xi)=0 ,F'(xi)=0, i=0,1,2,.....n
故F(x)有2n+2个根. 由于p(x),q(x)都是次数不高于2n+1的多项式,由代数基本定理知F(x )=p(x)-q(x)0,所以有
p(x) q(x) ,多项式唯一.
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定理二:f(x)在区间[a,b]存在2n+2阶导数,则其Hermite插值余项为:
(x)=(x-x0)(x-x1)…...(x-xn)
证明:(证明类似Lagrange余项)
当x=xi,i=0,1,2……时,左右两端为0,公式成立.
令xxi, x[a,b], 在节点x0,x1,……xn上
f(xi)=H(xi) 所以 R(xi)=f(xi)-H(xi)=0
f '(xi)=H '(xi) R '(xi)=f '(xi)-H '(xi)=0,
所以 xi (i=0,1……n)为R(x)的二重零点,
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对插值区间[a,b]中任一定点x,可设
R(x)=f(x)-H2n+1(x)= k(x) [(x)]2
k(x)为待定函数。做辅助函数
F(z)= f(z)- H2n+1(z) - k(x) [(z)]2
F(x)=0,所以z=x是F(z)的一个零点,此外x0……xn都是F(z)的二重零点, F(z)在[a,b]上有2n+3个零点,由洛尔定理,知插值区间[a,b]中存在一个[a,b]使F(2n+2)()=0。注意[(z)]2是首项系数为1的2n+2次多项式, H2n+1(z)是2n+1次多项式,故有
0= F(2n+2)()= f(2n+2)()- 0 -(2n+2)!k(x),
所以公式成立。
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设Hermite插值函数
n n
H2n+1(x) = Li(x) yi + hi(x) y'i
i=0 i=0
Li(x),hi(x)都是不高于2n+1次的多项式,类似Lagrange插值,利用Hermite插值条件可得
Li(xj)=ij hi(xj) = 0
L'i(xj)=0 h'i(xj)= ij i,j=0,1,2……n
从而可设
Li(x)= (aix+bi)[li(x)]2
hi(x)= (cix+di)[li(x)]2
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这里 li(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn)
ai,bi ,ci,di为待定系数,分别由Li(xi)=1 和Li′(xi)=0
及hi′(xi)= 1 (i=0,1,2……,n)确定.
三次Hermite插值函数的构造(n=1,2n+1=3)
已知数表:x x0 x1
y y0 y1
y′ y0′ y1′
求一个三次Hermite插值函数H3(x).
解:H3(x)=y