文档介绍：§ 一元多项式的定义和运算
一、多项式的概念
中学多项式的定义:n个单项式(不含加法或减法运算的整式)的代数和叫多项式。
例:
4a+3b,
在多项式中,每个单项式叫做多项式的项。这是形式表达式。
后来又把多项式定义为R上的函数:
但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中
并没有交代。
问题:
1、高等代数中采用什么观点定义多项式?
2、多项式的形式观点与多项式的函数观点
是否矛盾?
定义1:
设x是一个文字(或符号),n是一个非负整数
形式表达式
—()
其中
,称为数域F上的一元多项式。
常数项或
零次项
首项
首项系数
称为i次项系数。
高等代数中采用形式观点定义多项式,它在两方面推广了中学的多项式定义:
这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。
系数可以是任意数域。
:
是Q上多项式;
是R上多项式;
是C上多项式。
都不是多项式。
定义2:
是两个多项式,
除系数为0的项之外,同次项的系数都相等。
多项式的表法唯一。
方程
是一个条件等式而不是
两个多项式相等。
定义3:
设
非负整数n称为
的次数,记为:
最高次项,亦称为首项。
:
零次多项式:次数为0的多项式即非零常数。
零多项式:系数全为0的多项式。对零多项式不
个多项式不是零多项式。
首一多项式:首项系数为1的多项式。
二、多项式的运算
定义4:
设
是数域F上次数分别
定义次数,因此,在谈论多项式的次数时,意味着这
为n和m的两个多项式
,
则
与
的和
为:
。当m<n时,取。
定义5:设
如上,
与
的积为
:设
其中
相乘积的和作为
的系数。得:
把中两个系数下标之和为k的对应项
多项式的运算(加、减、乘)满足以下运算规律:
加法交换律:
加法结合律:
乘法交换律:
乘法结合律:
乘法对加法的分配律:
下面证明多项式乘法满足结合律。
证:设
现证
这只要比较两边同次项(比如t次项系数)相等即可。
左边
中S次项的系数是:
左边
t次项的系数是:
右边
中r次项的系数是: