文档介绍：§ 行列式的基本性质
直接用定义计算行列式是很麻烦的事,本节要导出行列式运算的一些性质,利用这些性质,将使行列式的计算大为简化。
转置行列式:把n阶行列式
的第i行
变为第i列(i=1,2,…,n)
所得的行列式
称为D的转置行列式,用
表示。
性质1:行列式D与它的转置行列式相等。(转置变换)
证:考察D的任意项
—(1)
它是取自D的不同行不同列的n个元素的乘积,因而也是取自
的第
行,1,2,…,n列的
n个元素的乘积,因而也是
中的一项:
—(2)。
(1)项所带的符号是
, (2)项所带
的符号也是
。因而D中的任一项均为
中的项而且所带的符号也相同。同理可知
中的
任一项也是D中的项且所带的符号相同。因此D=
性质1表明,在行列式中,行与列的地位是相同的。凡是对行成立的性质,对列也同样成立。
性质2 :
把行列式D中某一行(列)的所有元素同乘以常数k,相当于用数k乘这个行列式,即
(倍法变换)
证明:
推论1:
一个行列式中某一行(列)所有元素的公因式可以提到行列式的符号外面。
推论2:
如果行列式中某一行(列)所有元素都为零,则这个行列式等于零。
在性质2中,取k=0,即知结论成立。
性质3:
交换行列式D中的某两行(列),行列式变号。(换法变换)
即设
则有:
证:取D中任一项:
—(1)
它所带的符号是:
,
显然
也是
中的一项,
它所带符号为:
。由于对换改变排列的奇
偶性,故D中的任一项与
中对应项刚好相差一个符号,
故
推论3:
如果行列式中有两行(列)的元素对应相同,则这个行列式等于零。
(交换这两行(列)即知
)
推论4:
如果行列式中有两行(列)的元素对应成比例,则这个行列式等于零。
(利用性质2和推论3)
性质4:
如果行列式中某一行(列)中的所有元素都可表成两项之和,则该行列式可拆成两个行列式之和,即(拆法变换)
证明:
性质5:
把行列式中某一行(列)的所有元素同乘上一个数k再加到另一行(列)的对应元素上,所得行列式与原行列式相等。(消法变换)
即
利用性质4和推论4即知。
计算行列式