文档介绍：习题三
在以下各题中, 可测集, 可测函数和测度, 除题目中已有说明的外, 都是关于某一给
定的可测空间(X , F ) 或测度空间(X , F , µ) 的.
1. 试分别给出具有如下性质的可测空间(X , F ) :
(1) X 上的每个函数都是可测的.
(2) 只有常数函数是可测的.
2. 证明: (1).若 f 在 E 上可测, 则对 E 的任意可测子集 A , f 在 A 上可测.
(2). 若 E1 和 E2 是可测集, f 在 E1 和 E2 上可测, 则 f 在 E1 ∪ E2 上可测
3. 设 f 是 R1 上的函数. 证明 f 是 L 可测的当且仅当对任意有理数 r, { f < r} 是
L 可测集. 若把条件减弱为对任意有理数 r, { f = r}是 L 可测集, f 是否一定是 L 可测的?
f
4. 设 f 和 g 都是可测函数, 并且 g(x) 处处不等于零. 证明是可测函数.
g
5. 作出[0,1]上的一个函数 f, 使得 f 是 L 可测的, 但 f 不是 L 可测的.
6. 证明若 f 2 可测, { f ≥ 0}是可测集. 则 f 可测.
7. 设 f 为完备的测度空间(X , F , µ) 上的可测函数, g 为 X 上的函数. 若
f = g ., 则 g 是可测函数. 当(X , F , µ) 不完备时, 结论是否成立?.
8. 证明函数
3
x 若 x为有理数,
f (x) =
x 若 x为无理数.
是[0, 1] 上的 L 可测函数.
9. 设 f 是(X , F ) 上的实值可测函数, g 是 R1 上的 Borel 可测函数. 证明复合函数
g( f (x)) 是(X , F ) 上的可测函数.
10. 设 f 和 g 是(X , F ) 上的两个实值可测函数, h 是 R 2 上的连续函数. 证明复合函
数 h( f , g) 是(X , F ) 上的可测函数.
11. 设 f 是定义在(a,b) 上的函数. 若 f 在每个[α, β] ⊂(a,b) 上是 L 可测的, 则
f 在(a,b) 上是 L 可测的.
12. 设 f 是[a,b]上的可微函数. 证明 f ′是[a,b]上的 L 可测函数.
13. 设 f 是 R n 上的 L 可测函数. 证明对任意 y ∈ R n , f (x + y) 是 R n 上的 L 可测
函数.
提示: 先设 f = I A 是特征函数.
14. 举例说明, 一族可测函数{ ft : t ∈ I}的上确界函数 f = sup f t 不一定可测.
t∈I
15. 举例说明, 若 f 是 R1 上的 L 可测函数, A 是 R1 中的 L 可测集, f −1 (A) 不
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一定是 L 可测集.
提示: 利用 例 6 中的结果..
16. 设(X , F ) 是一可测空间, f (x,t) 是定义在 X ×[0, 1]上的函数. 若对每个
t ∈[0, 1], f (x,t) 对 x 可测, 对每个 x ∈ X , f (x,t) 对t 连续, 证明 g(x) = max f (x