文档介绍：习题五
1. 设 E 是 R1 中一族(开的闭的半开半闭的)区间的并集. 证明 E 是 Lebesgue
可测集.
2. 设 f 是 R1 上有界的单调增加函数. 证明 f 在 R1 上几乎处处可导并且 f ′在 R1
上 L 可积.
3. 试在[0,1] 上作一严格单调增加的函数 f (x), 使得在[0,1] 上 f ′(x) = 0 ..
提示: 利用 定理 6.
x
4. 计算函数 f (x) = sin x 在[0, 2π] 上的全变差, 并求V ( f ).
0
5. 设 f 和 g 是[a,b]上的有界变差函数. 证明 fg 是[a,b]上的有界变差函数.
6. 证明若 f 是[a,b]上的有界变差函数, 则 f 也是[a,b]
例说明反过来结论不一定对.
7. 若 f 是[a,b]上的有界变差函数, 并且 f 在[a,b]上连续, 则 f 是[a,b]上的有
界变差函数.
8. 设 f 是[a,b]上的可微函数并且 f ′有界, 则 f 是[a,b]上的有界变差函数.
9. 证明 f (x) = cos x 2 是[0, π] 上的有界变差函数.
1 x
10. 设 f 是[0,a] 上的有界变差函数, F(x) = f (t)dt (F(0) = 0). 证明 F 是
x ∫0
[0,a] 上的有界变差函数.
提示: 先设 f 是单调增加的.
b
11. 设{ f n } 是[a,b] 上的一列有界变差函数, 使得V ( f n ) ≤ M (n ≥ 1), 并且
a
b
lim f n (x) = f (x), x ∈[a,b]. 证明 f ∈V[a,b] 并且V ( f ) ≤ M.
n→∞ a
12. 证明: 函数 f 在[a,b]上是有界变差的当且仅当存在[a,b]上的有界增函数ϕ,
使得当 a ≤ x < y ≤ b 时,
f (y) − f (x) ≤ϕ(y) −ϕ(x).
13. 证明函数
1 1
−, 当0 < x ≤,
f (x) = ln x 2
0 当x = 0.
1 1
在[0, ]是连续的有界变差的. 但 f 在[0, ]上不满足任何α> 0 阶的 Lipschitz 条件. 即
2 2
160
1
不存在常数 M > 0, 使得对任意 x, y ∈[0, ], 成立
2
f (x) − f (y) ≤ M x − y α.
14. 设 f 是[a,b]上的连续函数, g 是[a,b]上的有界变差函数. 则成立
b b
f (x)dg(x) ≤ sup f (x) V (g).
∫a a≤x≤b a
15. 设 f 在[c, d] 上满足 Lipschitz 条件, g 是[a,b] 上的绝对连续函数, 并且
c ≤ g(x) ≤ d. 则复合函数 f (g(x)) 是[a,b]上的绝对连续函数.
16. 设 f 是[c, d]上的绝对连续函数, g 是[a,b]上严格增加的绝对连续函数, 并且
c ≤ g(x) ≤ d. 则复合函数 f (g(x)) 是[a,b]上的绝对连