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文档介绍：§ 可积函数

(levi 定理)若φ n (x)为可测集 E 上的非负可测函数列,
且满足φ n (x)≤φ n+1 (x),φ n (x)→f(x) (n→+∞),则
fdx= lim φ n dx
∫E n→∞∫E
证明 G ()f , E ={(x,y)|0≤y<f(x)},G (Φ n , E)={(x,y)|0≤y<φ n }然
∞
⊂
而G()Φ n , E G ()Φ n+1 , E ,且 G ( f , E)= G (Φ n , E),由外极限定理知: fdx
∫E
Un=1
=mG ()f , E = lim mG ()Φ n , E = lim φ n dx. 证毕
n→∞ n→∞∫E
(Fatou 引理)若φ n (x)为可测集 E 上的非负可测函数列,
则 lim φ n (x)dx≤ lim φ n dx
∫E n→∞ n→∞∫E
证明因为 lim φ n (x)=sup inf φ n (x),令ψ N (x)=inf φ n (x),则
n→∞ N ≥1 n≥N n≥N
ψ n (x)≤ψ n+1 (x), lim φ n (x)= lim ψ n (x),于是 lim φ n (x)dx=
n→∞ n→∞∫E n→∞
lim ψ N (x)dx= lim ψ N dx= lim ψ N dx≤ lim φ n dx,证毕。
∫E N →∞ N →∞∫E N →∞∫E n→∞∫E
(控制收敛定理) 若 f n (x)为可测集 E 上的可测函数列, 存
在 E 上可积函数 F(x)满足|f n (x)|≤F(x),f n (x)─→f(x) 于 E,则 fdx
∫E
= lim f n dx
n→∞∫E
证明 F(x)+f n (x)≥0 且在 E 上可测,
lim [F(x)+f n (x)]dx≤ lim [F(x)+f n (x)]dx
∫E n→∞ n→∞∫E
F(x)dx+ lim f n (x)dx≤ F(x)dx+ lim f n dx
∫E ∫E n→∞∫E n→∞∫E
即 lim f n (x)dx≤ lim f n dx。同理 F(x)-f n (x)≥0 且在 E 上可测,则由
∫E n→∞ n→∞∫E
lim [F(x)-f n (x)]dx≤ lim [F(x)-f n (x)]dx,
∫E n→∞ n→∞∫E
F(x)dx- lim f n (x)dx≤ F(x)dx- lim f n dx,即
∫E ∫E n→∞∫E n→∞∫E
lim f n (x)dx≥ lim f n dx,
∫E n→∞ n→∞∫E
lim f n (x)dx≤ lim f n dx≤ lim f n dx≤ lim f n (x)dx,而
∫E n→∞ n→∞∫E n→∞∫E ∫E n→∞
f n (x)─→f(x) 于 E,故 fdx= lim f n dx
∫E n→∞∫E
注 : f