文档介绍：常微分方程课件
制作者:闫宝强,傅希林,刘衍胜,范进军,劳会学,张艳燕
第一章初等积方法
第五章定性与稳定性概念
第三章线性微分方程
第二章基本定理
第四章线性微分方程组
第六章一阶偏微方程初步
第1讲微分方程与解
微分方程
什么是微分方程?它是怎样产生的?这是首先要回答的问题.
300多年前,由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学,是人类科学史上划时代的重大发现,而微积分的产生和发展,,,运动规律很难全靠实验观测认识清楚,,运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间,通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系,我们容易捕捉到这种联系,而这种联系,用数学语言表达出来,,,将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.
例1 物体下落问题 设质量为m的物体,在时间t=0时,在距地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面下落,求ss此物体下落时距离与时间的关系. 解如图1-1建立坐标系,
加速度为
质量为m的物体,在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力,当速度不太大时, F = ma (力=质量×加速度) 可以列出方程
() 其中k > 0为阻尼系数,g是重力加速度. ()式就是一个微分方程,这里t是自变量,x是未知函数,,我们还不会求解方程(),但是,如果考虑k=0的情形,即自由落体运动,此时方程()可化为 ()
将上式对t积分两次得
()
一般说来,微分方程就是联系自变量、,则称为常微分方程;如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数,并且在方程中出现偏导数,,有时就简称微分方程或方程.
例如下面的方程都是常微分方程
()
()
()
()
在一个常微分方程中,未知函数最高阶导数的阶数,,一阶常微分方程的一般形式可表为
()
如果在()中能将y′解出,则得到方程
()
()
或
()称为一阶隐式方程,()称为一阶显式方程,()称为微分形式的一阶方程.