文档介绍：第一章初等积分法
第1讲微分方程与解
第2讲变量可分离方程
第3讲齐次微分方程
第4讲一阶线性微分方程
第5讲全微分方程与积分因子
第6讲一阶隐式微分方程
第7讲几种可降阶的高阶方程
第8讲应用举例
第1讲微分方程与解
第2讲变量可分离方程
第3讲齐次微分方程
第4讲一阶线性微分方程
第5讲全微分方程与积分因子
第6讲一阶隐式微分方程
第7讲几种可降阶的高阶方程
第8讲应用举例
第二章基本定理
第09讲解的存在性与唯一性定理
第10讲解的延展
第11讲奇解与包络
第12讲解对初值的连续依赖性
第三章线性微分方程组
第13讲一阶微分方程组及一阶线性微分方程组的一般概念
第14讲线性齐次微分方程组的一般理论
第15讲线性非齐次微分方程组的一般理论
常系数线性微分方程组的解法(单实根)
第16讲常系数线性微分方程组的解法(复、重根)
第13讲一阶微分方程组及
一阶线性微分方程组的一般概念
第14讲线性齐次微分方程组的一般理论
第15讲线性非齐次微分方程组的一般理论
常系数线性微分方程组的解法(单实根)
第16讲常系数线性微分方程组的解法(复、重根)
第四章线性微分方程
第17讲 n 阶线性微分方程的一般理论
第18讲 n 阶常系数线性齐次方程的解法
第19讲 n 阶常系数线性非齐次方程的解法
第20讲二阶常系数线性方程与振动现象
第17讲 n 阶线性微分方程的一般理论
第18讲 n 阶常系数线性齐次方程的解法
第19讲 n 阶常系数线性非齐次方程的解法
第20讲二阶常系数线性方程与振动现象
第五章定性和稳定性理论简介
第21讲稳定性概念及李雅普诺夫第二方法
第22讲平面自治系统的基本概念
平面定性理论简介(1)
第23讲平面定性理论简介(2)
 
第21讲稳定性概念及李雅普诺夫第二方法
第22讲平面自治系统的基本概念
平面定性理论简介(1)
第23讲平面定性理论简介(2)
 
 
第1讲微分方程与解
微分方程
什么是微分方程?它是怎样产生的?这是首先要回答的问题.
300多年前,由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学,是人类科学史上划时代的重大发现,而微积分的产生和发展,,,运动规律很难全靠实验观测认识清楚,,运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间,通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系,我们容易捕捉到这种联系,而这种联系,用数学语言表达出来,,,将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.
例1 物体下落问题
设质量为m的物体,在时间t=0时,在距地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面下落,求ss此物体下落时距离与时间的关系.
解如图1-1建立坐标系,
加速度为
质量为m的物体,在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力,当速度不太大时,
F = ma (力=质量×加速度)
可以列出方程
(·= ) ()
其中k > 0为阻尼系数,g是重力加速度.
()式就是一个微分方程,这里t是自变量,x是未知函数,,我们还不会求解方程(),但是,如果考虑k=0的情形,即自由落体运动,此时方程()可化为
()
将上式对t积分两次得
()
其中和是两个独立的任意常数,它是方程()的解.
一般说来,微分方程就是联系自变量、,则称为常微分方程;如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数,并且在方程中出现偏导数,,有时就简称微分方程或方程.
例如下面的方程都是常微分方程
()
()
(·= ) ()
(′= ) ()
在一个常微分方程中,未知函数最高阶导数的阶数,,一阶常微分方程的一般形式可表为
()
如果在()中能将y′解出,则得到方程
()
或()
(