文档介绍：总练习题提示与解答
第一章实数集与函数
,证明:
(1);
(2).
提示讨论两种情况.

.
试问是否为初等函数?
解应用第1题结论,可得
.
若是初等函数,,因而也是初等函数,.
,求
.
=,求.
:
(1)某系各班级推选学生代表,每5人推选一名代表,(假设每班学生数为30~50人);
(2)正数x经四舍五入后得整数y,写出y与x之间的函数关系.(y=[x+],x>0)
,试作下列各函数的图像:
(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7).
,试作下列各函数的图像:
(1);(2).
提示应用上面第2题解答和第6题(6),(7).
,g和h为增函数,满足
≤≤,.
证明:≤≤.
证因为,≤,且为增函数,所以
≤;
又因≤,取=,即有≤;于是证得≤.同理,利用是增函数可证≤.这里没有用到的增函数性质(如果顺序倒过来证,就会用到的递增性).
(a,b)上的增函数,证明第7题中定义的函数和也都是(a,b)上的增函数.
证现证=,按定义
≤,≤,
于是≤≤,
≤≤.
这样就证得
≤,
.
[-a,a]上的奇(偶):若在[0,a]上增,则在[-a,0]上增(减).
提示若,则,于是.
,:
(1)≤;
(2)≤.
证法一(1)因为≤,于是
≤.
由教材§4,习题7可知
≤=,
最后等式是应用了本书§2范例4中的结论.
(2),≤,
于是
≤,
由此即得
≤.
证法二(1)由=-,应用教材§4例2中的结论,有
+≤,
≤.
同理可证(2).
,:
(1)≤;
(2)≤
证(1)因为,为D上的非负有界函数,于是≥0,≥,中有一为零,则不等式显然成立,故不妨设>0,>,的非负性,因此
·≤,
由此可得
≤,
于是有
≤,
最后不等式是应用了.
若,的非负性条件不满足,结论(1),
,,,
是非负函数,是非正函数,不难验证
,,
=,
因而(1)中不等式不成立.
同理可证(2).
(0,+∞)上的函数延拓到R上,使延拓后的函数为(i)奇函数,(ii)偶函数,设
(1);
(2)
解(1)是定义在(0,+∞)上的,为了把函数延拓到R上,必须将定义域扩充到上去,得到R上的函数在(0,+∞)上应当与相合.
(i)为了使延拓后成为奇函数,而奇函数的图形关于原点对称,所以应当定义
容易验证,,因此即为所求的奇函数.
(ii)
为所求的偶函数.
(2)(i)
为所求的奇函数.
(ii)
为所求的偶函数.
,:若在上有界,则在R上有界.
证由条件在上有界,故,对于,有≤M.
,使得,,所以,满足
,
即是R上的有界函数.

,.
证明:
.
证按确界定义,应当证明:
(1),≤;
(2),<;
先证(1),≤,≥,于是有
≤,
同理又有
≤,
即
≤.
再证(2).若,则在I上恒为常数,>m,
,,
所以,使得
,,
于是
.
由此可见
=.
第二章数列极限
§1 数列极限概念
:
(1);(2);
(3).
:
(1);(2);(3).
提示(1)设.
(2)先证.
(3),试证设,即.
,证明:
(1)(又问由此等式能否反过来推出);
(2)若,则.
证(1)因为,于是时,.
≤
≤.
当固定,取n充分大,时,于是当时
≤.
即.
反之不必然,例如发散,但是.
注所证结论可作为§2范例5中施笃茨定理的推论.
(2)若,因为
0≤≤,
令,由(1)有,应用迫敛性,有.
若,因为,,利用不等式(其证明见教材第六章§5习题8(1))
≤≤,
于是有
,
=.
由迫敛性证得
.
注上述结论也可以利用指数函数连续性和(1)来证明.
(1);
(2);(提示:)
(3);(4);
(5);(提示:在题3(2)中取)
(6);
(7)若,则;
(8)若