文档介绍：第二章极限与连续
第一节极限的定义
思考题:
1. 在的定义中,为何只要求在的空心邻域内有定义?
答:因为表示无限接近而不等于,故与在点有无定义无关.
2. 是否存在,为什么?
答:存在且为0.
因为,且,由无穷小的性质知.
习作题:
1. 设画出的图形,求及并问是否存在.
1
解:的图像如下:
==1,
==0,
.
不存在.
2. 函数在什么条件下是无穷大量,什么条件下是无穷小量?为什么?
答: 当时是无穷大量, 当时是无穷小量.
, .
.
解:例如:对, 表示当沿轴的正向远离原点时, 曲线无限靠近直线=0; 表示当沿轴的负方向远离原点时, 曲线无限靠近直线
; 表示当沿轴远离原点时, 曲线无限靠近直线.
4. 举例说明,,,的几何意义.
解:例如:对, 表示当沿轴无限接近0时,曲线向上无限远离原点; 对, 表示当沿轴无限接近0时, 曲线向下无限远离原点,对, 表示当沿轴负向无限接近0时,曲线向上无限远离原点; 表示当沿轴正方向无限接近0时,曲线向下无限远离原点.
第二节极限的运算
思考题:
?
(1).
答: (不存在).
(2).
答: ().
2. 两个无穷大的和仍为无穷大吗?试举例说明.
答:不一定.
如:是时的无穷大量, 也是时的无穷大量, 但其和为1,不是时的无穷大量.
习作题:
1. 求下列极限:
(1), (2),
解:原式= 解: 原式=
= =2.
= .
(3), (4),
解:原式= 解:时,
= ,
=. 原式===.
(5), (6),
解:令=, 解:原式=
则当时, =0 + 100
原式== . = 100.
(7) .
解:当时,
原式===.
,是比高阶的无穷小.
证明:当时~ , ~ ,
= = =0,
时, 是比高阶的无穷小.
3. 试证时,与是等价无穷小.
证明:令= , 则,
于是