文档介绍：第一章线性赋范空间
本章是为了介绍泛函分析中的一些基本概念并提供全书的基础知识.
正如前言中所提到的,泛函分析的基础建立在集合的两种结构之上,一种是
代数结构即线性结构,另一种是拓扑(本书中体现为度量)
绍线性空间、度量空间、赋范空间、内积空间以及拓扑空间的公理系统,讨论它
们之间的相互关系;然后给出某些经典的赋范空间的例子;在此基础上着重叙述
度量空间的两个重要概念——完备性和紧性以及它们的某些应用.
第 1 讲线性空间
教学目的:掌握线性空间的定义和基本结构性质。
讲解要点:
1 了解线性空间的公理体系,认识线性空间的广泛性。
2 掌握线性无关与基底的概念,弄清这一概念与线性代数中有限维
空间相应概念的联系与区别。
3 了解凸包与张成的子空间的概念与属性。
我们以Φ代表标量域,即实数域 R 或复数域 C .
定义 1 设 X 是某个集合,其中规定了两种运算(“加法”与“数乘”),使得
(Ⅰ) X ∀x, y ∈ X ,存在 u ∈ X ,称 u 为 x 与 y 之和:
u = x + y .满足
(1) x + y = y + x .
(2) (x + y) + z = x + (y + z ).
(3) 存在 0∈ X 使得任意的 x ∈ X , x + 0 = x .
(4) 对于每个 x ∈ X ,存在 x′∈ X 使得 x + x′= 0 .记 x′= −x ,称 x′是 x 的负元.
(Ⅱ) 数乘运算可行. 即∀x∈ X ,α∈Φ,存在 v ∈ X ,称 v 为α与 x 的积:v = αx .满
足α,β∈Φ, x, y ∈ X ,
(1) 1x = x ,
(2) α(βx) = (αβ)x ,
(3) α(x + y) = αx + αy ,
(α+ β)x = αx + βx .
则 X 称为线性空间或向量空间,其中的元称为向量.
当Φ= R 时,称 X 是实线性空间.
当Φ= C 时,称 X 为复线性空间.
线性空间的子集合 E ,若对于同样的标量域构成线性空间,则称 E 是 X 的线性子空
E 是 X 的线性子空间当且仅当∀x, y ∈ E ,α,β∈Φ则αx + βy ∈ E .
我们采用以下记号:当 x∈ X , E1, E2 ⊂ X ,α∈Φ时,记
x + E1 = {x + x1 : x1 ∈ E1} ,
aE1 = {ax1 : x1 ∈ E1} ,
E1 + E2 = {x1 + x2 : x1 ∈ E1, x2 ∈ E2}.
称αE 是 E 的倍集,称 E1 + E2 是 E1 , E2 的(线性)和集.
注意,应该把线性空间的子集之间的这些运算与集合论中的“并”与“交”运算区别开
,一般地,当 E ⊂ X 时,2E ⊂ E + E ,
外,对于∀E ⊂ X , −E 有明确的意义;若 E ≠∅,则 E − E ≠∅等等.
线性空间 X 中的元素 x1,
, xn 称为是线性无关的,若∀